МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Проверка статистических гипотез Проверка статистических гипотез Критерий Стьюдента Критерий Стьюдента Критерии согласия Критерии согласия Критерий Пирсона Критерий Пирсона Критерий Колмогорова Критерий Колмогорова Критерий Фишера Критерий Фишера Однофакторный дисперсионный анализ Однофакторный дисперсионный анализ Задача дисперсионного анализа Задача дисперсионного анализа Элементы теории корреляции Элементы теории корреляции

Статистической гипотезой называется любое предположение о виде или параметрах неизвестного закона распределения. Проверяемую гипотезу называют нулевой (основной), обозначают её Н 0. Конкурирующей (альтернативной) называют гипо- тезу, которая противоречит нулевой, обозначают её Н 1. Задача: проверить, верна ли нулевая гипотеза Н 0 при альтернативной гипотезе Н 1 ? Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и про- тиворечающую ей гипотезу. Выдвинутая гипотеза может быть принята или отвергнута. Если она отверга- ется, то принимается противоречащая ей гипотеза.

Гипотеза Н 0 ПринимаетсяОтвергается Верна Неверна Правильное решениеОшибка 1-го рода Ошибка 2-го родаПравильное решение Вероятность допустить ошибку 1-го рода, то есть отвергнуть верную гипотезу Н 0, называют уровнем значимости. Обозначим через – вероятность допустить ошибку 1-го рода, через – 2-го рода.

1 этап Задаём уровень значимости. 2 этап Строим случайную величину K, называемую ста- тистическим критерием, для которой выполня- ются следующие условия: 1)она является функцией от выборочных данных: K=K(x 1,x 2,…,x n ); 2) её значения позволяют судить о «расхождении выборки с гипотезой Н 0 », то есть о том, надо при- нимать или отвергать гипотезу H 0 ; 3) распределение этой величины известно.

3 этап Вычисляем значения критерия, подставляя в него выборочные данные. Это число называют наблю- даемым значением критерия и обозначают K набл. 4 этап Находим критическую область данного критерия, то есть совокупность значений критерия, при кото- рых нулевую гипотезу отвергают. Все остальные значения критерия образуют область, называемую областью принятия гипотезы. Если наблюдаемое значение критерия попадает в критическую область, то гипотезу отвергаем, если в область принятия гипотезы, то принимаем.

Точки, которые отделяют критическую область от области принятия гипотезы, называют критическими точками. Чаще всего встречаются следующие виды критических областей: а) левосторонняя K < k кр б) правосторонняя K > k кр в) двусторонняя K < k кр 1 K > k кр 2

Критическую область W целесообразно находить со- гласно следующим требованиям: вероятность ошибки 2-го рода – минимальная, то есть вероятность – максимальная Вероятность не допустить ошибку 2-го рода, то есть отвергнуть гипотезу H 0, когда она неверна, называется мощностью критерия. 2.мощность критерия – максимальная

Схема проверки гипотезы: 1 этап Задаём уровень значимости. 2 этап Строим статистический критерий. 3 этап Вычисляем наблюдаемое значение критерия. 4 этап Находим критическую область и проверяем, попадает ли в неё наблюдаемое значение критерия.

Критерий Стьюдента (t-критерий) Генеральная совокупность распределена нормально. Проверить гипотезу: a 0 – некоторое число Критерий: Т имеет распределение Стьюдента с (n-1) степенями свободы Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

1. Критическая область W – правосторонняя: Из требования 1 для критической области: F(x) – функция распределения Стьюдента с (n-1) степенями свободы, F(x) – функция распределения T

2.2. Критическая область W – левосторонняя: Из требования 1 для критической области:, F(x) – функция распределения T, F(x) – функция распределения Стьюдента с (n-1) степенями свободы

Плотность распределения Стьюдента – чётная функция Критическая точка t пр,кр находится из требования: –t пр,кр является критической точкой для левосторонней области:

3. Критическая область W – двусторонняя: Пусть В силу чётности плотности распределения Стьюдента: Аналогично пунктам 1 и 2 получаем:, или,

H 0 : генеральная совокупность имеет некоторое определённое распределение (высказано предположение о виде и параметрах распределения) 1. Генеральная совокупность имеет биномиальное распределение с m=10 и p= Генеральная совокупность распределена нормально с матаматическим ожиданием, равным 5 и дисперсией, равной 4. Критерии, с помощью которых проверяется гипотеза о теоретическом законе распределения, называются критериями согласия.

Критерий Пирсона ( -критерий) Найдём теоретические частоты вариант. 1. Распределение дискретное p(x). xixi x1x1 x2x2 …x l-1 xlxl pipi Теоретическая частота появления варианты x i – это 2. Распределение непрерывное F(x). xixi (x 1, x 2 )(x 2, x 3 )…(x l-1, x l )(x l, x l+1 ) pipi Теоретическая частота попадания в интервал (x i, x i+1 ) – это np i. p1=p(x1)p1=p(x1) p 2 =p(x 2 ) … p l-1 =p(x l-1 )p l =1-p 1 -p 2 -…-p l-1 p 1 =p(X< x 2 ) =F(x2)=F(x2) p 2 =p(x 2

Критерий: n i – эмпирические частоты np i – теоретические частоты При случайная величина имеет распреде- ление Пирсона с k степенями свободы, где k = l –1 –r, l – число вариант (интервалов), r – число параметров предполагаемого распределения, оцениваемых по выборке

Критическая область W – правосторонняя: Из требования 1 для критической области:, F(x) – функция распределения F(x) – функция распределения Пирсона с k=l–1–r степенями свободы, l – число вариант (интервалов), r – число параметров, оцениваемых по выборке.

Критерий Колмогорова F(x) – теоретическая функция распределения F n (x) – эмперическая функция распределения Обозначим – статистика критерия Колмогорова Критерий: Критическая область W – правосторонняя: Из требования 1 для критической области:

Можно доказать, что при

Критерий Фишера Две генеральные совокупности X и Y распределены нормально. Проверить гипотезу: Критерий: F имеет распределение Фишера с (n X –1) и (n Y –1) степенями свободы Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы. Обозначим n X – объём выборки из совокупности X, n Y – объём выборки из совокупности Y, s 2 X и s 2 Y – исправленные выборочные дисперсии.

1. Критическая область W – правосторонняя: Из требования 1 для критической области: F(x) – функция распределения Фишера с (n X –1) и (n Y –1) степенями свободы, F(x) – функция распределения F Так как s 2 X >0 и s 2 Y >0, то F >0 положительная часть

2.2. Обозначим, F имеет распределение Фишера с (n Y –1) и (n X –1) степенями свободы предыдущий случай: функция распределения F, где F(x) –

Обозначим, тогда Таким образом, критическая область для критерия F имеет вид:, где F(x) – функция распределения Фишера с (n Y –1) и (n X –1) степенями свободы

3.3. Критическая область W – двусторонняя: Аналогично пунктам 1 и 2 получаем: Пусть где F 1 (x) – функция распределения Фишера с (n X –1) и (n Y –1) степенями свободы где F 2 (x) – функция распределения Фишера с (n Y –1) и (n X –1) степенями свободы

Однофакторный дисперсионный анализ Средний объём Номер бригады Номер наблюдения Пример: выявить зависимость объёма выполненных на стройке работ за смену от работающей бригады.

X – случайная величина F – фактор, воздействующий на случайную величину X F 1, F 2, …, F p – уровни фактора a 1, a 2, …, a p – математические ожидания на уровнях F 1, F 2, …, F p соответственно H 0 : a 1 = a 2 = … = a p Дисперсионным анализом называется статистический метод, предназначенный для выявления влияния отдельных факторов на результат эксперимента, а также для последующего планирования эксперимента.

Критерий Бартлетта H 0 : D 1 (X) = D 2 (X) = … = D p (X) гипотеза о равенстве дисперсий на каждом уровне q 1, q 2, …, q p – количество наблюдений на уровнях F 1, F 2, …, F p соответственно s 1 2, s 2 2, …, s p 2 – исправленные выборочные дисперсии на уровнях F 1, F 2, …, F p соответственно,

Критерий: Если q 1, q 2, …, q p > 3, то критерий имеет распределение, близкое к распределению Пирсона с (p-1) степенями свободы. Критическая область – правосторонняя., где F(x) – функция распределения Пирсона с (p–1) степенями свободы.

ypyp …y2y2 y1y1 Среднее значение qpqp …q2q2 q1q1 Число наблюдений … x2px2p …x 22 x 21 2 x1px1p …x 12 x 11 1 FpFp …F2F2 F1F1 Уровень фактора F Номер наблюдения H 0 : a 1 = a 2 = … = a p Объём выборки: n =q 1 + q 2 +…+ q p

ypyp …y2y2 y1y1 Среднее значение qpqp …q2q2 q1q1 Число наблюдений … x2px2p …x 22 x 21 2 x1px1p …x 12 x 11 1 FpFp …F2F2 F1F1 Уровень фактора F Номер наблюдения 1-ая группа – уровень F 1 : x 11, x 21, …, 2-ая группа – уровень F 2 : x 21, x 22, …, p-ая группа – уровень F p : x 1p, x 2p, …, … D в = D межгр +D внгр

1-ая группа – уровень F 1 : x 11, x 21, …, 2-ая группа – уровень F 2 : x 21, x 22, …, p-ая группа – уровень F p : x 1p, x 2p, …, … 1.D межгр = Факторная сумма: 2.D внгр =, где D iгр – дисперсия i–той группы S факт =

i-тая группа: x 1i, x 2i, …,, групповая средняя: y i D iгр = D внгр = Остаточная сумма: S ост =

Факторная дисперсия: Остаточная дисперсия: – всегда – если несущественно влияние фактора H 0 : a 1 = a 2 = … = a p

Критерий: имеет распределение Фишера с (p–1) и (n–p) степенями свободы Критическая область W – правосторонняя: Из требования 1 для критической области: F(x) – функция распределения Фишера с (p–1) и (n –p) степенями свободы

Элементы теории корреляции Зависимость величины Y от X называется функцио- нальной, если каждому значению величины X соот- ветствует единственное значение величины Y. Зависимость величины Y от X называется стати- стической (вероятностной, стохастической), если каждому значению величины X соответствует не одно, а множество значений величины Y, причём сказать заранее, какое именно значение примет величина Y невозможно.

Среднее значение, которое принимает величина Y при X=x, называется математическим ожиданием случай- ной величины Y, вычисленным при условии, что X=x, или условным математическим ожиданием: М(Y|X=x) Если при изменении x условные математические ожидания М(Y|X=x) изменяются, то говорят, что имеет место корреляционная зависимость величины Y от X. При этом функцию f (x)=М(Y|X=x) называют функцией регрессии. f (x)=М(Y|X=x) – ?

Условным средним называют среднее арифмети- ческое наблюдавшихся значений Y, соответствующих X=x. Условное среднее является оценкой условного матема- тического ожидания: М(Y|X=x) Каждому x соответствует своё значение, следова- тельно, – есть функция от x: это уравнение называется выборочным уравнением регрессии, а функция f * (x) – выборочной функцией регрессии.

Если функция регрессии – линейная: f (x) = М(Y|X=x) = ax+b, то выборочное уравнение регрессии имеет вид: f (x)=М(Y|X=x) – ?, где – выбороч- ный коэффициент корреляции – выборочные средние – выборочные средние квадратические отклонения n xy – частота пары вариант (x, y)

n= nXnX 22–– – –50.4 nYnY XYXY Корреляционная таблица