Поверхностный интеграл второго рода. Выполнила Авдошина Анна гр 2 г 01

Поверхностные интегралы Понятие поверхностного интеграла является логическим продолжением понятия двойного интеграла на случай, когда областью интегрирования является некоторая поверхность, а подынтегральной функцией служит функция трех независимых переменных.

Поверхностные интегралы Интеграл по площади поверхности (1- го рода ) Интеграл по координатам (2- го рода )

Поверхностный интеграл 2- го рода Поверхностным интегралом 2- го рода от функции u = f(x,y,z) по указанной стороне поверхности ( σ) называется предел суммы произведений значений функции в точках поверхности на проекции соответствующих элементарных площадок поверхностей на одну из координатных плоскостей при неограниченном увеличении числа разбиений поверхности на части и стремлении площадей всех элементарных участков поверхности к нулю.

По проекциям на плоскости XOY,XOZ,YOZ

Связь интегралов 1- го и 2- го рода На плоскость YOZ: dy dz = cos α dσ На плоскость XOZ: dx dz = cos β dσ На плоскость XOY: dx dy = cos γ dσ

Если P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) – непрерывные на ( σ) функции, тогда можно записать

Общая формула, связывающая поверхностные интегралы 1- го и 2- го рода

Свойства Линейность Аддитивность При изменении ориентации поверхности, поверхностный интеграл меняет знак

Рассмотрим пример Вычислите интеграл по внешней стороне параболоида 9 - z = x 2 + y 2 ( Нормаль к поверхности образует острый угол с осью OZ)

Спасибо за внимание !