Методы численного интегрирования Выполнили: ст. гр. 2Б15: Забродько П. О Золоторёв Р. Н Руководитель: Тарбокова Т. В

Численное интегрирование - вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Численное интегрирование применяется, когда: Сама подынтегральная функция не задана аналитически; Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции.

Одномерный случай Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую, интеграл от которой легко вычисляется. формула для оценки значения интеграла. Метод Котеса: Основной идеей метода является замена подынтегральной функции каким-либо интерполяционным многочленом:

Метод прямоугольников Метод прямоугольников - метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, т.е. константу, на каждом элементарном отрезке. Если отрезок является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по: Формуле левых прямоугольников: Формуле правых прямоугольников: Формуле прямоугольников (средних):

Метод трапеций Метод трапеций метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. - площадь трапеции на каждом отрезке; - полная формула площади трапеций

Метод парабол (метод Симпсона) Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке: Суть приёма заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке интерполяционным многочленом второй степени, то есть приближение графика функции на отрезке параболой.

Метод Гаусса Метод Гаусса метод численного интегрирования, позволяющий повысить алгебраический порядок точности методов на основе интерполяционных формул путём специального выбора узлов интегрирования без увеличения числа используемых значений подынтегральной функции.

Метод Гаусса-Кронрода Недостаток метода Гаусса состоит в том, что он не имеет лёгкого пути оценки погрешности полученного значения интеграла. Кронродом был предложен следующий метод оценки значения интеграла: для оценки погрешности можно использовать эмпирическую формулу:

Методы Монте-Карло Общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализации случайного процесса, который формируется так, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинами решаемой задачи. Для определения площади под графиком функции можно использовать следующий алгоритм: ограничим функцию прямоугольником; «набросаем» в этот прямоугольник некоторое количество точек; определим число точек которые попадут под график; площадь области, ограниченной функцией и осями координат S, дается выражением:

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!