Тема Реферата : Применение формулы Тейлора. Выполнила : Еремина Е., гр.2 г 21 Руководитель : Тарбокова Т. В.

Презентация:



Advertisements
Похожие презентации
Степенные ряды Лекции12, 13, 14. Функциональные ряды Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным и обозначается. Если при ряд сходится,
Advertisements

Вычисление значений многочлена. Схема Горнера. При аппроксимации функций, а также в некоторых других задачах приходится вычислять значения многочленов.
Вычисление значений аналитической функции. Действительная функция f(x) называется аналитической в точке если в некоторой окрестности этой точки функция.
Определение 1. Выражение называется числовым рядом. Числа называются первым, вторым,...,... членами ряда. называется общим членом ряда. Определение 2.
Степенная функция Тригонометрическая функция Логарифмическая функция Показательная функция.
§5. Производная неявно заданной функции. Чтобы найти производную надо продифференцировать обе части равенствa F(x,y)=0, учитывая, что y=y(x) есть функция.
{функциональные ряды – степенные ряды – область сходимости – порядок нахождения интервала сходимости - пример – радиус интервала сходимости – примеры }
ТЕОРИЯ РЯДОВ. 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 3.5. Ряды Тейлора и Маклорена. Формула Тейлора: остаточный член в форме Лагранжа. где.
§ 16. Формула Тейлора и Маклорена Опр. 11. Многочленом (полиномом) n - го порядка называется функция P n ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + … + a n x n где.
Производная показательной функции. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ Y=f`(a)(x-a)+f(a) f`©=o Maxf(x)=f(b) Minf(x)=f©
§4. Основные теоремы дифференциального исчисления ТЕОРЕМА 1 (Ферма). Пусть функция y = f(x) определена на (a; b) и в точке (a; b) принимает ниабольшее.
Функциональные и степенные ряды Функциональные ряды Степенные ряды Сходимость степенных рядов Свойства степенных рядов 1/18.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «БАШКИРСКИЙ.
Бер Л.М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. 190 от Степенные ряды Определение. Функциональный ряд вида.
Производная функции.
ТЕОРИЯ РЯДОВ. 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 3.1. Функциональные ряды. Ряд, членами которого являются функции от х, называется функциональным.
Лектор Пахомова Е.Г г. Математический анализ Раздел: Числовые и функциональные ряды Тема: Свойства степенных рядов. Разложение функции в степенной.
Функциональные ряды. Функциональные ряды.. Опр-е: Выражение f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x)+… (1) называется рядом относительно переменной x. Придавая переменой.
Теорема 1 Производная суммы (разности) двух функций, каждая из которых имеет производную, равна сумме (разности) производных этих функций.
Л АБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4 Тема: Численное дифференцирование Тема: Численное дифференцирование.
Транксрипт:

Тема Реферата : Применение формулы Тейлора. Выполнила : Еремина Е., гр.2 г 21 Руководитель : Тарбокова Т. В.

Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.

Многочленом Тейлора степени n в точке x 0 называется многочлен P(x) степени n, такой, что его значение и значение всех его производных, вычисленные в точке x 0, равны соответствующим значениям функции f(x) и её производных f (k) (x) до порядка n в этой же точке : P ( k ) ( x 0 )= f ( k ) ( x 0 ); k =0,1,2,3,…,n. Для нахождения вида многочлена Тейлора для заданной функции любой многочлен P(x) степени n вида P(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 +…+ a n-1 x + a n можно представить в виде, расположенном по степеням бинома (x-x 0 ): P(x) = a 0 (x-x 0 ) n + a 1 (x-x 0 ) n-1 + a 2 (x-x 0 ) n-2 +…+ a n-1 (x-x 0 )+ a n, Многочлен Тейлора.

Разность между функцией f(x) и её многочленом Тейлора называется n- м остатком, или n- м остаточным членом ; обозначим этот остаток через R n (x)= f(x) - P(x). Формула f(x)= P(x)+ R n (x), в более развёрнутой форме, имеющая вид, называется формулой Тейлора для функции f(x) в точке x 0, а представление функции f(x) в таком виде - её разложением по формуле Тейлора. Разложение функций по формуле Тейлора

Рассмотрим функцию f(x)= e x. Все её производные совпадают с ней : f (k) (x)=e x, так что коэффициенты Тейлора в точке x 0 =0 равны,k=0,1,2…n Поэтому формула Тейлора для f(x)= e x такова : Примеры разложения некоторых функций по формуле Тейлора

Для 8 членов разложения : e = 2, Для 10 членов разложения : e = 2, Для 100 членов разложения : e = 2, Как видно, для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться шестью - семью членами ряда. Пример : Найдем значение числа е. В полученной ранее формуле положим х = 1:

Заключение В ходе исследования : В источниках был изучен вывод формулы Тейлора и ее практическое применение ; Были рассмотрены примеры разложения элементарных функций по формуле Тейлора.

Спасибо за внимание !