ЛЕКЦИЯ Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений: Метод Эйлера

Дифференциальные уравнения устанавливают связь между независимыми переменными, искомыми функциями и их производными. Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Постановка задачи

Например, структура движения потока в реакторе идеального перемешивания описывается обыкновенным дифференциальным уравнением: Здесь искомая функция (концентрация вещества) С(t) зависит от одной переменной t (времени).

Постановка задачи В том случае, если искомая функция зависит от нескольких переменных, дифференциальное уравнение будет уравнением в частных производных. Например, структуру потока в реакторе идеального вытеснения можно описать уравнением в частных производных: В этом уравнении функция С(t,l) зависит от времени (t) и длины аппарата (l).

Постановка задачи Обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) называются уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции y = y(x): где x – независимая переменная. Наивысший порядок n, входящей в уравнение производной, называется порядком дифференциального уравнения. Например: уравнение первого порядка; уравнение второго порядка

Постановка задачи Из общей записи дифференциального уравнения можно выразить производную в явном виде: Уравнение для производных имеет бесконечное множество решений. Для получения единственного решения необходимо указать дополнительные условия, которым должны удовлетворять искомые решения.

Постановка задачи В зависимости от вида таких условий рассматривают три типа задач, для которых доказано существование и единственность решений. Первый тип – это задачи с начальными условиями. Для таких задач кроме исходного дифференциального уравнения в некоторой точке x 0 должны быть заданы начальные условия, т.е. значения функции y (x) и её производных: y (x 0 ) = y 0 y' (x 0 ) = y ' 0,..., y (n-1) (x 0 ) = y n-1 0.

Постановка задачи Второй тип задач – это, так называемые, граничные, или краевые, в которых дополнительные условия задаются в виде функциональных соотношений между искомыми решениями. Третий тип задач для обыкновенных дифференциальных уравнений – это задачи на собственные значения.

Постановка задачи Сформулируем задачу Коши. Дано обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) первого порядка, разрешенное относительно производной удовлетворяющее начальному условию

Постановка задачи Необходимо найти на отрезке [x 0,x n ] такую непрерывную функцию y = y(x), которая удовлетворяет дифференциальному уравнению и начальному условию т.е. найти решение дифференциального уравнения. Нахождение такого решения называют решением задачи Коши. Численное решение этой задачи состоит в построении таблицы приближенных значений y 1,y 2,...,y n решения уравнения y(x) в точках x 1,x 2,...,x n с некоторым шагом h.

Методы Рунге-Кутта Методы Рунге-Кутта обладают следующими отличительными свойствами: являются одноступенчатыми: чтобы найти значение функции в точке y i+1 нужна информация только о предыдущей точке (y i,x i ); согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка h k, где степень k определяет порядок метода; не требуют вычисления производных от f(x,y), а требуют вычисления самой функции.

Метод Эйлера (метод Рунге-Кутта первого порядка) Простейшим из численных методов решения дифференциальных уравнений является метод Эйлера. Это один из самых старых и широко известных и применяемых на в практике методов.

Метод Эйлера Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения первого порядка с начальным условием y(x 0 )=y 0, т.е. необходимо решить задачу Коши.

Метод Эйлера В окрестности точки x 0 функцию y(x) разложим в ряд Тейлора который можно применить для приближенного определения искомой функции y(x). В точке x 0 +h при малых значениях h можно ограничиться двумя членами ряда, тогда, где O(h 2 ) – бесконечно малая величина порядка h 2. (1) (2)

Метод Эйлера Заменим производную y'(x 0 ), входящую в формулу (1), на правую часть уравнения (2) Приближенное решение в точке x 1 =x 0 +h можно вновь рассматривать как начальное условие и по формуле найти значение искомой функции в следующей точке x 2 =x 1 +h. В результате получен простейший алгоритм решения задачи Коши, который называется методом Эйлера.

Метод Эйлера Метод Эйлера можно представить в виде последовательного применения формул: для точки x 1 = x 0 +h, x 2 = x 1 + h, x i+1 = x i + h,

Метод Эйлера Таким образом, формула Эйлера в общем случае имеет вид: x i+1 = x i + h

Метод Эйлера Геометрически искомая функция y(x) заменяется ломаной линией, представляющей собой отрезки касательных к этой функции в узлах x 0, x 1,...x n.

x0 x0 y=y 0 +y 0 '(x–x 0 ) y h x1 x1 y0y0 y1y1

Метод Эйлера Выведем формулы на основе геометрических аналогий. Предположим, что нам известна точка (x 0,y 0 ) на искомой интегральной кривой. Через точку (x 0,y 0 ) проведем касательную с тангенсом угла наклона (3) Уравнение касательной имеет вид:

Метод Эйлера Тогда в точке x 1 =x 0 +h, с учетом (3) получим решение: Ошибка решения в точке x=x 1 показана в виде отрезка.

Метод Эйлера Полученная формула является методом Рунге - Кутта первого порядка, т.к. она согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов порядка h 1. Метод Эйлера имеет довольно большую погрешность вычисления: 0(h). Кроме того, он очень часто оказывается неустойчивым – малая ошибка (например, заложенная в исходных данных) увеличивается с ростом x.