Интегральная теорема Коши Выполнила: студентка гр.2Б15 Сафиулина Эльза

Теория функций комплексных переменных Комплексный анализ -раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента. Каждая комплексная функция может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных: определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции, называются компонентами комплексной функции.

Дифференцирование Производная для комплексной функции одного аргумента определяется так же, как и для вещественной: (здесь h комплексное число). Если этот предел существует, функция называется дифференцируемой или голоморфной. При этом

Следует учитывать одну важную особенность: поскольку комплексная функция задана на плоскости, существование приведённого предела означает, что он одинаков при стремлении к Z с любого направления. Этот факт накладывает существенные ограничения на вид функций-компонент, и определяет их жёсткую взаимосвязь (условия Коши Римана):

Условия Коши Римана Называются также условиями дАламбера Эйлера соотношения, связывающие вещественную и мнимую части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного

Фундаментальные работы в комплексном анализе связаны с именами Эйлера, Римана, Коши, Вейерштрасса и многих других известных математиков. Одна из интересных и важных есть теорема Коши.

Формулировка Для любой функции, аналитической в некоторой односвязной области и для любой замкнутой кривой справедливо соотношение:

Доказательство Из условия аналитичности (уравнений КошиРимана) следует, что дифференциальная форма замкнута. Пусть теперь - замкнутый самонепересекающийся кусочно-гладкий контур внутри области определения функции. Тогда по теореме Стокса имеем:

Спасибо за внимание