Продолжение темы «Системы, динамические системы» Подтемы Фазовый портрет. Классификация систем. Консервативные и диссипативные динамические системы. Простое и сложное поведение динамических систем. Понятие об аттракторах. Типы аттракторов. Понятие о фракталах. Фрактальная структура аттракторов. Закономерности хаотических режимов. Дисциплина: Синергетика для инженеров Преподаватель: профессор каф. общей физики Н.Н. Никитенков

Итак, для Гамильтоновых систем справедливо уравнение Лиувилля: Здесь, – уравнения движения, а Н=Н(р, q, t) – гамильтониан системы. Уравнение Лиувилля, так же как и уравнения движения, обратимо во времени. Среди множества возможных траек- торий можно предположить сущест- вование таких, которые имеют асимптотически устойчивое положе- ние равновесия или асимптотически устойчивый предельный цикл. Теорема Лиувилля, исключает возможность таких траекторий (показано на рисунке). Схемы невозможных, в соот- ветствии с теоремой Лиувилля, траекторий.

Совокупность всевозможных фазовых траекторий образует фазовый портрет динамической системы. Поясним понятие фазового портрета на примере систем с одной степенью свободы, относящихся к числу простейших систем. Гамильтониан такой системы имеет вид: то есть, не зависит от времени, т.е. энергия системы Е=Н(р, q) является интегралом движения или инвариантом (E = inv). Качественный анализ фазовых траекторий такой системы показывает, что в зависимости от структуры потенциала V(q) имеются «захваченные» в потенциальную яму траектории частиц и «пролетные» траектории. Захваченным траекториям соответствует финитное движение (периодические колебания), пролетным соответствует инфинитное движение. Различные типы траекторий разделяются на фазовой плоскости особыми кривыми, называемыми сепаратрисами (C 1 и С 2, рис.).

Потенциал V(q) и фазовый портрет простейшей систе- мы; С 1 и С 2 – сепаратрисы. В положениях равновесия (V(q)=max, E=E е ) скорость равна нулю, а потенциал имеет экстремум (точки q 1, q 2 и q 3 ). Исследование поведения траекторий системы в окрестности положений равновесия приводит к следующим выводам. В точках q 1, q 3 (потенциальный горб) – траектории – пересекающиеся прямые – части сепаратрисы.

Фазовые траектории в окрест- ности гиперболической (а) и эллиптической (б ) точек. Семейство траекторий имеет вид гипербол (рис., а). Точка пересечения траекторий – прямых (p е, q е ) называется гиперболической точкой или седлом. При V>0 точка (р s, q s ) в центре окружностей (рис., б) называется эллиптической, так как в ее окрестности семейство траекторий, имеет вид эллипсов (окружность – частный случай эллипса), причем всегда Е>E s. В определенном смысле движение в окрестности эллиптической точки устойчиво. Траектория, проходящая в достаточно малой окрестности эллиптической точки совершает всегда финитное движение.

Консервативные и диссипативные динамические системы Характерным для консервативной системы является ее замкнутость (изоляция от внешнего мира) и постоянство (сохранение) ряда величин. В случае механической системы сохраняются следующие величины: 1. Полная энергия: Е = кинетическая энергия + потенциальная энергия = (1/2) i,m i v i 2 + іј,V ij где m i,v i – масса и скорость материальной точки i, V ij – потенциальная энергия взаимодействия точек i и j. 2. Полное количество движения: 3. Полный момент количества движения:

Простые примеры консервативной системы: -колеблющийся маятник (в существовании перечисленных законов сохранения легко убедиться, если пренебречь трением в оси подвеса и сопротивлением воздуха), -солнечная система. Консервативная система – абстракция: в любой реальной системе всегда существуют силы, приводящие к необратимым процессам, например, трение. Все реальные системы – диссипативные. К диссипативным относят динамические системы, в которых энергия упорядоченного процесса со временем переходит в энергию неупорядоченного процесса, в конечном счете – в тепловую.

Диссипативные системы обладают следующими общими свойствами: для них характерно выделенное направление времени, они не инвариантны относительно обращения времени, они не сохраняют объем фазового пространства, все диссипативные процессы приводят к положительному производству энтропии. Энтропия – мера беспорядка В случае замкнутых диссипативных систем энтропия системы непрерывно возрастает. Рост энтропии устанавливает направление протекания процесса, «стрелу времени». Диссипация энергии в открытой системе, обусловленная процессами выхода энергии из системы, например, в виде излучения, может приводить к уменьшению энтропии рассматриваемой системы при увеличении полной энтропии системы и окружающей среды.

У диссипативных систем с неограниченным фазовым пространством часто существует ограниченная область в нём (аттрактор), куда попадает со временем любая фазовая траектория. Для описания диссипативных систем используются нелинейные математические уравнения, т.е. уравнения, в которых искомые величины входят в состав математических функций (тригонометрических, логарифмических и т.п.) в степенях больше единицы или коэффициенты уравнений зависят от свойств среды и особенностей протекания процесса. Нелинейные уравнения могут иметь несколько качественно различных решений. Физически это означает возможность различных путей эволюции системы. Только в диссипативных и при этом открытых и неравновесных системах при определенных условиях могут возникать новые структуры, например, ячейки Бенара, страты в плазме, химические волны и многое другое.

Простое и сложное поведение динамических систем. Понятие об аттракторах. Типы аттракторов. Если фазовое пространство двумерно (плоскость или ее часть), то можно показать саму траекторию, если нет – то ее двумерную проекцию. Самопересечения проекций траектории возможны, хотя сами фазовые траектории пересекаться не могут. Это следует из теоремы о единственности решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Если бы из одной точки выходили две различные траектории, то это означало бы множественность решений системы уравнений, определяющих динамическую систему. Дальнейшее движение системы в окрестности такой точки не определено. Существуют особые или неподвижные точки х* системы дифференциальных уравнений, определяющих систему. Функция x(t)=х* является решением системы, а другие траектории обычно бесконечно долго стремятся к этой точке.

Поведение динамической системы вблизи особых точек, как правило, проще, чем поведение при произвольно взятых начальных данных. На рисунке это выглядит так, что с течением времени траектории, выходящие из различных начальных точек, стремятся собраться в некоторых выделенных, сравнительно небольших областях фазового пространства, которые затем уже не покидают. Точку или некоторое множество точек в фазовом пространстве, к которому стремятся фазовые траектории динамической системы с течением времени называют аттрактором Таким образом, каковы бы не были начальные значения переменных системы, по мере развития динамического процесса, они будут стремиться к одним и тем же значениям или множествам значений – аттракторам. Другими словами, аттракторы – это геометрические структуры, характеризующие поведение системы в фазовом пространстве по прошествии длительного времени.

Область, откуда траектории стремятся к аттрактору, называют областью притяжения аттрактора или бассейном притяжения. Таким образом, поведение динамической системы можно разделить на два этапа: переходное, пока траектория стремится к аттрактору, и асимптотическое, когда траектория находится на самом аттракторе или настолько близко к нему, что расстоянием можно пренебречь. Данное описание относится к диссипативными системам. У консервативных систем нет деления на переходное и асимптотическое поведение, судьба системы консервативной системы определяется начальными данными. При различных начальных данных решение дифференциальных уравнений выходит на области притяжения различных типов. На рисунке 1 – область притяжения неподвижной точки; 2 – цикла; 3 – более сложного аттрактора. Репеллеры

Если в фазовом пространстве имеется несколько аттракторов, то их области притяжения разделены неустойчивыми множествами точек, называемых репеллерами, от которых все или почти все соседние фазовые траектории отталкиваются (см предыдущ. рис) Поведение динамических систем можно описать математически либо как непрерывное изменение состояния при непрерывном течении времени, либо как дискретные изменения в дискретные моменты времени. В первом случае математическая модель является системой обыкновенных дифференциальных уравнений или потоком, во втором – отображением или каскадом. Отображения, порождающие качественно похожее потоку пове- дение, оказываются проще потоков, поэтому некоторые эффекты предпочтительнее исследовать именно для отображений. Для потоков простейшим видом асимптотического поведения является отсутствие всяких временных изменений. В фазовом пространстве при этом существует точка, называемая неподвижной точкой, которой и отвечает данный тип поведения (слайд).

Неподвижная точка Периодический режим Чтобы быть аттрактором, она должна быть устойчивой, что показано при помощи траектории, стремящейся к ней. Более сложным является периодический режим, которому отвечает предельный цикл. Простому поведению отвечают простые модели: устойчивая неподвижная точка может описываться всего одним уравнением. Предель- ный цикл требует двух уравнений и т.д. В случае, когда в системе имеют место квазипериоди- ческие колебания, с двумя частотами ω 1 и ω 2, причем их отношение ω 1 /ω 2 – иррациональное число.

Эта ситуация реализуется только если размерность фазового пространства не меньше трех (модель должна включать не менее трех уравнений). Асимптотическое поведение соответствует заполнению траекторией поверхности двумерного тора, (2-тор). Двухчастотный режим (тор) Простейшие примеры аттракторов: устойчивая особая точка, устойчивый периодический режим и устойчивый тор. Простейшие примеры репеллеров: неустойчивая особая точка, неустойчивый периодический режим и неустойчивый тор.

В системах с размерностью фазового пространстве не меньше трех могут возникать более сложные непериодические режимы поведения и соответствующие им так называемые странные аттракторы. Степень сложности аттрактора и поведения системы может нарастать как путем увеличения числа независимых частот (траектория будет регулярно заполнять 3- тор, 4-тор и т.д.), так и путем возникновения режима, получившего название динамического хаоса, который описывается странным аттрактором. Аттрактор динамического хаоса Траектория в этом случае ника- кой гладкой гиперповерхности в фазовом пространстве не запол- няет, аттрактор оказывается как бы «дырявым», в отличие от тора. Сложность хаотических режимов тоже может быть различной.

Похожим образом анализируется и сложность асимптотических режимов для динамических систем с дискретным временем отображений. Обычно их записывают в виде итерационного процесса – в виде формулы, определяющей, как следующее состояние определяется по предыдущему, x n+1 =f(x n ). Здесь также существуют неподвижные точки х*=f(x*) и циклы x 2 =f(x 1 ),..., x m =f(x m+1 ), х 1 =f(x m ). Тору отвечает непериодическое поведение, при котором точки регулярно заполняют одномерную кривую. Например, отображение окружности в себя φ n+1 =φ n +α Неподвижная точка (1), цикл (2) и аналог тора (3) в отображениях.

Существуют и в этом случае хаотические режимы: если от f потребовать обратимости, то такие режимы возникают в пространстве размерности больше единицы, например: показанный на рис. аттрактор Хенона: х п+1 =1–ax n 2 +y n, у n+1 =bх n a=1,4, b = 0,3, Если от f не требовать обратимости, т.е. допускать отображение нескольких точек в одну, то хаос возможен даже в одномерном случае. Аттрактор Хенона. Крестиком показана одна из двух неподвижных точек.

Понятие о фракталах. Фрактальная структура аттракторов. Закономерности хаотических режимов Хаотические режимы обладают многими интересными закономерностями. Наиболее важные из них. 1.Часто на асимптотической стадии фазовая траектория притягивается к множеству (аттрактору), которое обладает фрактальной структурой, то есть, является фракталом Простейший и широко известный пример – канторово множество, схема построения которого на рис Схема построения канторова множества (первые пять шагов).

Отличительной чертой, присущей фракталам, является самоподобие – любая увеличенная часть такого множества оказывается подобна целому множеству. Все странные аттракторы имеют фрактальную структуру. 2. Движение обычно оказывается локально неустойчивым: любые близкие траектории расходятся, не покидая при этом аттрактора. Движение оказывается неустойчивым по Ляпунову, в отличие от циклов и торов, где оно устойчиво (решение x(t) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого ε найдется δ, такое что для любого решения, такого что t > 0; если к тому же при, то решение называют асимптотически устойчивым).

Расстояние l между траекториями при малых l в среднем обычно экспоненциально увеличивается, l~ехр(λt), где λ>0 называется старшим показателем Ляпунова (на самом деле показателей несколько, но самый важный среди них – наибольший). Чем больше λ, тем более хаотичным выглядит движение. 3. Если в качестве начальных данных взять не точку, а некоторый, пусть очень малый, объем «каплю», в фазовом пространстве, то с течением времени система начнет эту каплю размазывать по всему аттрактору, и возникает эффект перемешивания. Т.е., если в начальный момент времени мы знали состояние системы достаточно точно, с малой ошибкой, то со временем ошибка начнет нарастать, и спустя некоторое время, зависящее от скорости перемешивания (заметим, что скорость перемешивания обычно не связана каким-либо простым образом с величинами показателей Ляпунова), окажется, что о состоянии системы можно сказать лишь то, что оно «где-то на аттракторе».