Методы обработки экспериментальных данных

Методы обработки экспериментальных данных: 1. Интерполирование 2. Метод Лагранжа

В инженерных расчетах часто требуется установить функцию f(x) для всех значений х отрезка [a,b], если известны ее значения в некотором конечном числе точек этого отрезка. Одним из способов приближения функции является интерполяция.

Задача интерполяции может возникнуть в практике инженера при: 1. интерполировании табличных данных; 2. получении функциональной зависимости по экспериментальным данным, представленным в табличной форме; 3. замене сложной с вычислительной точки зрения функции, более простой зависимостью; 4. при дифференцировании и интегрировании.

Пусть на отрезке [x 0,x n ] заданы n+1 точки x 0, x 1, x 2,...,x n, называемые узлами интерполяции, и значения некоторой интерполируемой функции y=f(x) в этих точках, т.е. имеется таблица экспериментальных значений функции y=f(x): y 0, y 1, y y n. y 0 =f(x 0 ); y 1 =f(x 1 );...; y n =f(x n ).

Требуется найти значения этой функции для промежуточных значений аргумента, не совпадающих с приведенными в таблице. Получить аналитическое выражение функции y= f(x) по таблице ее значений часто бывает невозможно. Поэтому вместо нее строят другую функцию, которая легко вычисляется и имеет ту же таблицу значений, что и f(x), т.е. P m (x 0 )=f(x 0 )=y 0, P m (x i )=f(x i )=y i, где i = 0,1,2,..., n.

Такую задачу называют задачей интерполирования; Точки x i называются узлами интерполяции; функция f(x) называется интерполируемой функцией; многочлен P m (x) называется интерполяционным многочленом.

Задачей интерполяции, в узком смысле слова, считают нахождение приближенных значений табличной функции при аргументах x, не совпадающих с узловыми. Если значение аргумента x расположено между узлами, то нахождение приближенного значения функции f(x) называется интерполяцией, если аппроксимирующую функцию вычисляют вне интервала [x 0, x n ], то процесс называют экстраполяцией.

заключается в том, чтобы построить такую интерполирующую функцию, которая бы проходила через все узлы интерполирования (рис. 1).

Близость интерполяционного многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек. При решении задачи интерполирования обычно принимается, что: 1. интерполируемая функция непрерывна на отрезке [a,b] и в каждой точке имеет конечные производные любого порядка; 2. узлы интерполирования отличны друг от друга.

Простейшая и наиболее часто используемая интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки x i, y i при i=0,1,2,... n соединяются прямолинейными отрезками и функцию f(x) можно приближенно представить ломаной с вершинами в данных точках.

Уравнения каждого отрезка ломаной в общем случае разные. Поскольку имеется n интервалов (x i-1, x i ), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение прямой, проходящей через две точки. В частности, для i-го интервала можно написать уравнение прямой, проходящей через точки (x i-1, y i-1 ) и (x i, y i ), в виде

Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента x, а затем подставить его в формулу (1) и найти приближенное значение функции в этой точке.

Пусть функция f(x) задана таблично. Это могут быть, например, значения концентраций продуктов реакции в зависимости от времени, полученные экспериментально. Значения x 0,x 1,..., x n называются узлами таблицы. Считаем, что узлы в общем случае не являются равноотстоящими (шаг таблицы неравномерный).

Построим интерполяционный многочлен на отрезке [x 0,x n ]. Запишем искомый многочлен в виде: P m (x)=a 0 +a 1 x + a 2 x a m x m. Геометрически задача интерполирования сводится к построению кривой через заданные точки. Аналитически задача сводится к решению системы уравнений

Для определения коэффициентов многочлена P n (x) необходимо располагать n+1 узловой точкой. Пусть в n+1-ой точках x 0, x 1,..., x n определены значения y 0, y 1,..., y n. Требуется построить многочлен P n (x), принимающий в узловых точках заданные значения y i, т.е. такой, что P n (x i ) = y i i= 0,1,...,n.

Лагранж предложил следующую форму интерполяционного полинома, где L i (x) - множитель Лагранжа, имеющий вид: Следовательно, формулу Лагранжа можно представить в виде:

Числитель и знаменатель не должны включать в себя значения x =x i, так как результат будет равен нулю. В развернутом виде формулу Лагранжа можно записать:

X0 Y01 Пример 1. Для функции y=sin x построить интерполяционный полином Лагранжа, выбрав узлы x 0, x 1, x 2. Применяя формулу Лагранжа, получим.

Пример 2. Дана таблица значений теплоёмкости вещества в зависимости от температуры C p =f(T). Вычислить теплоёмкость в точкеТ=450 К. Для решения воспользуемся формулой Лагранжа.

Значение теплоемкости при температуре 450 К получим: