Постановка задачи аппроксимации Линейная, нелинейная (второго порядка) аппроксимация Лекция 5

Постановка задачи аппроксимации Пусть, изучая неизвестную функциональную зависимость y=f(x), был произведен ряд измерений величин x и y. xx1x1 x2x2 x3x3 …xnxn yy1y1 y2y2 y3y3 …ynyn Если аналитическое выражение функции f(x) неизвестно или весьма сложно, то возникает практически важная задача: найти такую эмпирическую формулу значения которой при x=x i возможно мало отличались бы от опытных данных y i (i=1, 2, …, n).

Постановка задачи аппроксимации Геометрически задача построения эмпирической формулы состоит в проведении кривой, «возможно ближе» примыкающей к системе экспериментальных точек

Этапы построения эмпирической зависимости Выяснение общего вида формулы. Если характер зависимости неизвестен, то вид эмпирической формулы произвольный. Предпочтение простым формулам, обладающим хорошей точностью. Во многих случаях задача состоит в аппроксимации неизвестной функциональной зависимости между x и y многочленом заданной степени m Определение наилучших параметров эмпирической зависимости ( … ) – метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов Пусть в результате эксперимента получена таблица значений функции y i (i=1,...,n). Задача состоит в аппроксимации неизвестной функциональной зависимости между x и y эмпирической формулой : где m – число параметров; a 1 …a m – неизвестные коэффициенты.

Суть метода Определить искомые коэффициенты а j зависимости таким образом, чтобы этот полином наилучшим образом описывал экспериментальные данные, а сумма квадратов отклонений экспериментальных значений y i от соответствующих значений, вычисленных по аппроксимирующему многочлену, была минимальной. где F(a 0, a 1, …, a m ) – функция коэффициентов.

В точке минимума функции F ее производные обращаются в нуль.

Полиномиальная зависимость Пусть эмпирическая функция представлена полиномом: P(x)=a 0 +a 1 x+a 2 x a m x m

Используя систему, получаем математическое условие минимума для уравнения: В результате решения системы линейных уравнений получим коэффициенты а 0,а 1,...,а m искомого многочлена.

Линейная аппроксимация Часто при обработке экспериментальных данных оказывается возможным построить линейный аппроксимирующий полином, т.е. описать закон изменения x линейным уравнением P 1 (x)=a 0 +a 1 x Необходимо найти коэффициенты a 0, a 1

Расчет неизвестных коэффициентов a 0 и a 1

Выражения для коэффициентов a 0 и a 1.

Определитель системы Определение коэффициентов a 0 и a 1 возможно, если определитель системы 0. Если определитель D=0, то система или не имеет решений (т.е. несовместна), или имеет бесконечно много решений (т.е. система неопределенная).

Пример: Дана табличная зависимость теплоемкости оксида углерода от температуры Необходимо построить аппроксимирующий полином в виде y=a 0 +a 1 x., где h=100, С р =y. Для вычисления коэффициентов составим таблицу: Введем обозначения

ITiTi xixi yiyi x i y i / Таблица

y= x.

Разность между исходными данными и результатами расчета по полученному выражению определяет погрешность аппроксимации. Выполненная проверка показала, что полученное уравнение (линейное) соответствует эксперименту. Если погрешность велика, то выбирают другой вид аппроксимирующего полинома.

Параболическая аппроксимация

В том случае, если экспериментальные данные не удается с достаточной степенью точности аппроксимировать линейным полиномом, применяют аппроксимацию 2-го и большего порядков. Такая аппроксимация называется нелинейной. Рассмотрим случай многочлена 2-ой степени: Запишем квадратичное отклонение. min

Приравняем к нулю частные производные

После преобразований, получаем:

Введем обозначения:

С учетом принятых обозначений система линейных уравнений будет иметь следующий вид:

Определим неизвестные коэффициенты a 0, a 1, a 2.

Необходимое условие: определитель системы

xixi yiyi x i y i S1=6S1=6S 5 =13S 2 =14S 3 =36S 4 =98S 6 =26S 7 =64 Пример: Дана табличная зависимость y от x. Необходимо построить аппроксимирующий полином в виде y=a 0 +a 1 x+a 2 x 2. Таблица

y=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 = 1,05 + 2,05 x – 0,25 x 2 Найдем коэффициенты полинома

Получили достаточно хорошее совпадение расчетных и экспериментальных данных