Приближенные методы решения определенных интегралов

Численное интегрирование Ряд технологических задач требует увязки в математическое описание всей информации о процессе. Как правило, большинство балансовых уравнений в химической технологии представлены системой интегральных и дифференциальных уравнений, в результате решения которых могут быть получены зависимости, характеризующие протекание процесса. Часто на практике не удается вычислить интеграл аналитическим путем. В этих случаях применяют приближенные методы численного интегрирования.

Постановка задачи Вычислить определенный интеграл при условии, что а и b конечны и F(х) является непрерывной функцией х на всем интервале х [a,b]. Во многих случаях, когда подынтегральная функция задана в аналитическом виде, интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

Недостатки формулы Ньютона-Лейбница первообразная функция f(x) слишком сложна и ее нельзя выразить в элементарных функциях; функция f(x) задана в виде таблицы, что особенно часто встречается в задачах химической технологии при обработке экспериментальных данных. В этих случаях используются методы численного интегрирования.

Численное интегрирование Задача численного интегрирования – нахождение приближенного значения интеграла по заданным или вычисленным значениям. Общий подход к решению задачи: -Определенный интеграл представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x), осью х и переменными а и b. -Необходимо вычислить интеграл, разбивая интервал [a,b] на множество мелких интервалов, находя приблизительно площадь каждой полоски и суммируя их.

В зависимости от способа вычисления подынтегральной суммы существуют различные методы численного интегрирования (методы прямоугольников, трапеций, парабол и др.).

Метод прямоугольников Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой: i [x i -1,x i ].

Разобьём интервал интегрирования [a,b] на n равных частей. Обозначим х i = h - шаг разбиения. Формула прямоугольника применяется к каждому отрезку. В качестве точек i выбираются левые ( i =х i-1 ) или правые ( i =х i ) границы элементарных отрезков.

Более точным является вид формулы прямоугольников, использующий значения функции в средних точках элементарных отрезков. Таким образом, площадь криволинейной трапеции заменяется суммой прямоугольников с основанием h и высотами, равными значениям функции f(x) в середине оснований. x i-1 x i x y

Получим формулу: где или

Метод трапеций Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т.е. график функции у =f(х) представляется в виде ломаной, соединяющей точки (х i, у i ). x i-1 x i x y hi hi

Площадь каждой такой трапеции определяется по формуле i=1,2,...,n, где n – число интервалов разбиения Складывая все эти равенства, получим формулу трапеций для численного интегрирования: или

Данные формулы можно представить в виде:

Метод парабол. Формула Симпсона Метод более точный по сравнению с методами прямоугольников и трапеций. В основе формулы Симпсона квадратичная интерполяция подынтегральной функции на отрезке [a,b] по трем равноотстоящим узлам. Разобьем интервал интегрирования [a, b] на четное число n равных отрезков с шагом h. Примем: x 0 =a, x 1 =x 0 + h,..., x n =x 0 + nh=b. Значения функций в точках обозначим соответственно: y 0 =f(a); y 1 =f(x 1 ); y 2 =f(x 2 );... ; y n =f(b).

Метод парабол На каждом отрезке [x 0,x 2 ], [x 2,x 4 ],..., [x i-1,x i+1 ] подынтегральную функцию f(x) заменим интерполяционным многочленом второй степени. где В качестве Р i (х) можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через концы каждых трех ординат: y 0, y 1, y 2 ; y 2, y 3, y 4 ; y 4, y 5, y 6 ;.... ; y n-2, y n-1, y n.

Формула Лагранжа для интервала [x i-1, x i+1 ]

x i-1 x i+1 x y y = P i (x i ) y i-1 y i+1 y i Рис. 6

Элементарная площадь s i может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Учитывая, что x i – x i-1 =x i+1 – x i =h, получим для каждого элементарного участка: После суммирования интегралов по всем отрезкам, получим составную формулу Симпсона: Упрощенная формула Симпсона:

Пример: Вычислить значение энтропии воды при нагревании ее от 400 до 500 К по формуле: Принимаем количество молей n=1, значение теплоемкости при v=const: C v =35,0 Дж/моль К. Разобьем интервал интегрирования на 10 равных частей. Шаг интегрирования будет равен h=(500 – 400) /10 =10. Результаты вычислений в таблице

Т f (T i ), i=1,3,… f (T i ) i=2,4, … f (T 0 ) f (T 10) 400 –

Вычислим интеграл, используя данные таблицы: по формуле трапеций: по формуле Симпсона: по формуле прямоугольников:

Найдем точное значение интеграла: Относительная погрешность вычислений по формуле трапеций, Симпсона и прямоугольников составляет соответственно: 0,01, 0,001, 0,005 %. Таким образом, наибольшую точность вычислений получили по формуле Симпсона.