Глава III. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией на плоскости называют геометрическое место точек M(x;y), координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y) = 0,(1) где F(x,y) – многочлен степени n. Поверхностью называют геометрическое место точек M(x;y;z), координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y,z) = 0,(2) где F(x,y,z) – многочлен степени n. Линией в пространстве называют пересечение двух поверхностей. Уравнения (1) и (2) называют общими уравнениями линии на плоскости и поверхности соответственно. Степень многочлена F(x,y) ( F(x,y,z) ) называют порядком линии (поверхности).

§ 1. Прямая на плоскости 1. Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0 ;y 0 ), перпендикулярно вектору

ВЫВОДЫ: 1) Прямая на плоскости является линией первого порядка. В общем случае она задается уравнением Ax+By+C = 0, где A,B,C – числа. 2) Коэффициенты A и B не обращаются в нуль одновременно, так как с геометрической точки зрения это координаты вектора, перпендикулярного прямой. Вектор, перпендикулярный прямой, называют нормальным вектором этой прямой.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ. Если в уравнении Ax+By+C = 0 все коэффициенты A,B и C отличны от нуля, то уравнение называют полным; если хотя бы один из коэффициентов равен нулю – уравнение называют неполным. 1) Пусть общее уравнение прямой – полное. Тогда его можно записать в виде С геометрической точки зрения a и b – отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях Ox и Oy соответственно. Уравнение (5) называют уравнением прямой в отрезках.

2) Пусть в общем уравнении прямой коэффициенты A и B – ненулевые, а C = 0, т.е. уравнение прямой имеет вид Ax+By = 0. Такая прямая проходит через начало координат O(0;0).

3) Пусть в общем уравнении прямой один из коэффициентов A или B – нулевой, а C 0, т.е. уравнение прямой имеет вид Ax+C = 0 или By+C = 0. Эти уравнения можно записать в виде x = a и y = b. 4) Пусть в общем уравнении прямой C = 0 и один из коэффициентов A или B тоже нулевой, т.е. уравнение прямой имеет вид Ax = 0 или By = 0. Эти уравнения можно записать в виде x = 0 (уравнения координатной оси Oy) и y = 0 (уравнения координатной оси Ox).

Замечание. Пусть прямая не проходит через O(0;0). Тогда уравнение можно записать в виде cosα·x + cosβ·y + C = 0, где C = – p (доказать самим). Этот частный случай общего уравнения прямой называется нормальным уравнением прямой. Обозначим: 1) P 0 (x 0 ;y 0 ) – основание перпендикуляра, опущенного на из начала координат,

2. Другие формы записи уравнения прямой на плоскости 1) Параметрические уравнения прямой ЗАДАЧА 2. Записать уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0 ;y 0 ), параллельно вектору Вектор, параллельный прямой, называют направляющим вектором этой прямой.

2) Каноническое уравнение прямой на плоскости 3) Уравнение прямой, проходящей через две точки – частный случай канонического уравнения прямой. Пусть прямая проходит через две точки M 1 (x 1,y 1 ) и M 2 (x 2,y 2 ).

4) Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть прямая не параллельна оси Ox. Тогда она пересекается с Ox, образуя при этом две пары вертикальных углов. Угол, отсчитываемый от оси Ox к прямой против часовой стрелки, называют углом наклона прямой к оси Ox. Число k = tg (если оно существует, т.е. если прямая не параллельна оси Oy) называют угловым коэффициентом прямой. Для прямой, параллельной оси Ox, угол наклона прямой к оси Ox считают равным нулю. Следовательно, угловой коэффициент такой прямой k = tg0 = 0.

Пусть прямая не параллельна оси Ox и Oy и проходит через точки M 1 (x 1,y 1 ) и M 2 (x 2,y 2 ) (где x 1 < x 2 ). Найдем угловой коэффициент этой прямой.

Уравнение y – y 1 = k·(x – x 1 ) – это уравнение прямой, проходящей через точку M 1 (x 1,y 1 ) и имеющей угловой коэффициент k. Перепишем это уравнение в виде y = kx + b (где b = y 1 – kx 1 ). Его называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. С геометрической точки зрения b – отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy. Замечание. Уравнение прямой с угловым коэффициентом было получено в предположении, что прямая не параллельна оси Ox и Oy. Для прямой, параллельной Ox общее уравнение можно рассматривать как уравнение с угловым коэффициентом. Действительно, уравнение такой прямой y = b или y = 0·x + b, где k = 0 – угловой коэффициент прямой.

3. Взаимное расположение прямых на плоскости На плоскости две прямые могут: а) быть параллельны, б) пересекаться. Пусть уравнения прямых 1 и 2 имеют вид: 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 или y = k 1 x + b 1 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 или y = k 2 x + b 2 1) Пусть прямые параллельны:

Получаем, что прямые 1 и 2 параллельны тогда и только тогда, когда в их общих уравнениях коэффициенты при соответствующих неизвестных пропорциональны, т.е. или их угловые коэффициенты равны, т.е. k 1 = k 2.

2) Пусть прямые пересекаются где знак плюс берется в том случае, когда надо найти величину острого угла, а знак минус – когда надо найти величину тупого угла. критерий перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями.

где знак плюс берется в том случае, когда надо найти величину острого угла, а знак минус – когда надо найти величину тупого угла. критерий перпендикулярности прямых, имеющий угловые коэффициенты k 1 и k 2.

4. Расстояние от точки до прямой ЗАДАЧА 3. Пусть прямая задана общим уравнением Ax + By + C = 0, M 0 (x 0 ;y 0 ) – точка, не принадлежащая прямой. Найти расстояние от точки M 0 до прямой.