Лектор Янущик О.В г. Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Несобственные интегралы

§4. Несобственные интегралы Для существования необходимы условия: 1) [a;b] – конечен, 2) f(x) – ограничена (необходимое условие существования определенного интеграла). Несобственные интегралы – обобщение понятия определенного интеграла на случай когда одно из этих условий не выполнено.

1. Несобственные интегралы I рода (по бесконечному промежутку) Пусть y = f(x) непрерывна на [a;+ ). y = f(x) непрерывна на [a;b], где b a. существует Имеем: D(I) = [a;+ ). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несобственным интегралом I рода от функции f(x) по промежутку [a;+ ) называется предел функ- ции I(b) при b +. Обозначают:

Таким образом, по определению (1) При этом, если предел в правой части формулы (1) существует и конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся. В противном случае (т.е. если предел не существует или равен бесконечности) несобственный интеграл называют расходящимся. Если y = f(x) непрерывна на (– ;b], то аналогично определя- ется и обозначается несобственный интеграл I рода для функции f(x) по промежутку (– ;b]:

Если y = f(x) непрерывна на, то несобственным интегралом I рода для функции f(x) по промежутку (– ;+ ) называют (2) где c – любое число. Несобственный интеграл от f(x) по промежутку (– ;+ ) называется сходящимся, если ОБА интеграла в правой части формулы (2) сходятся. В противном случае, несобственный интеграл по промежутку (– ;+ ) называется расходящимся. Будем рассматривать несобственные интегралы I рода по промежутку [a;+ ). Для интегралов по промежутку (– ;b] и (– ;+ ) все полученные результаты останутся справедливы.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ сходящихся несобственных интегралов I рода. Пусть y = f(x) непрерывна на [a;+ ) и f(x) 0, x [a;+ ). Тогда – площадь криволинейной трапеции с осно- ванием [a;b], ограниченной сверху кривой y = f(x). Е сли несобственный интеграл от y = f(x) по [a;+ ) сходится и равен S, то полагают, что область, ограниченная Ox, кривой y = f(x) и прямой x = a (криволинейная трапеция с бесконечным основанием) имеет площадь S. В противном случае говорить о площади указанной области нельзя.

На сходящиеся несобственные интегралы I рода переносятся некоторые свойства определенных интегралов (свойства 4, 5, 6, 7, 8). Кроме того, для несобственных интегралов существует обобщение формулы Ньютона – Лейбница. Пусть F(x) – первообразная для f(x) на [a;+ ). Тогда b [a;+ ) имеем (3)

Обозначим Тогда (3) примет вид: (4) Формулу (4) называют обобщением формулы Ньютона – Лейбница для несобственных интегралов по промежутку [a;+ ). Аналогично для несобственных интегралов по промежутку (– ;b] доказывается справедливость формулы

ПРИМЕРЫ. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

2. Признаки сходимости несобственных интегралов I рода ТЕОРЕМА 1 (первый признак сравнения). Пусть f(x) и (x) непрерывны на [a;+ ) и 0 f(x) (x), x [c; + ) (где c a). Тогда: 1) если – сходится, то тоже сходится, причем 2) если – расходится, то тоже рас- ходится.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ теоремы 1: Пусть (σ 1 ) и (σ 2 ) – области в xOy, ограниченные осью Ox, прямой x = c и кривыми y = (x) и y = f(x) соответственно. Неравенство 0 f(x) (x) (где x [c;+ )) означает, что область (σ 2 ) является частью области (σ 1 ). 1)если область (σ 1 ) имеет площадь, то ее часть (σ 2 ) тоже имеет площадь; 2)если говорить о площади области (σ 2 ) нельзя, то и для содержащей ее области (σ 1 ) тоже нельзя говорить о площади.

ТЕОРЕМА 2 (второй признак сравнения) Пусть f(x) и (x) непрерывны и неотрицательны на [a;+ ). Если где h – действительное число, отличное от нуля, то интегралы ведут себя одинаково относительно сходимости. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно

Замечания. 1) Теорема 2 остается справедливой и в том случае, если f(x) и (x) непрерывны и СОХРАНЯЮТ ЗНАК на [a;+ ). 2)При использовании теорем 1 и 2 в качестве «эталонных» интегралов обычно используют следующие несобственные интегралы:

Пусть f(x) непрерывна на [a;+ ). Тогда определены несобственные интегралы ТЕОРЕМА 3 (признак абсолютной сходимости). Если сходится интеграл, то и интеграл тоже будет сходиться. При этом интеграл называется абсолютно сходящимся. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Если расходится, то об интеграле ничего сказать нельзя. Он может расходиться, а может и сходиться. Если расходится, а – сходится, то интеграл называют условно сходящимся.

3. Несобственные интегралы II рода (от неограниченных функций) Пусть y = f(x) непрерывна на [a;b) и y = f(x) непрерывна на [a;b 1 ], где a b 1 < b. существует Имеем: D(I) = [a;b). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Несобственным интегралом II рода по промежутку [a;b] от функции f(x), неограниченной в точке b, называется предел функции I(b 1 ) при b 1 b – 0. Обозначают:

Таким образом, по определению (5) При этом, если предел в правой части формулы (5) существует и конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся. В противном случае (т.е. если предел не существует или равен бесконечности) несобственный интеграл называют расходящимся. Если y = f(x) непрерывна на (a;b] и, то аналогично определяется и обозначается несобственный интеграл II рода по промежутку [a;b] от функции f(x), неограниченной в точке a :

Если y = f(x) непрерывна на [a;b]\{c} и x = c – точка бес- конечного разрыва функции, то несобственным интегралом II рода от функции f(x) по промежутку [a;b] называют (6) Несобственный интеграл по промежутку [a;b] от функции f(x), неограниченной внутри этого отрезка, называется сходя- щимся, если ОБА интеграла в правой части формулы (6) сходятся. В противном случае, несобственный интеграл по промежутку [a;b] называется расходящимся. Будем рассматривать несобственные интегралы II рода по промежутку [a;b] от функции, неограниченной в точке b. Для других несобственных интегралов II рода все полученные результаты останутся справедливы.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ сходящихся несобственных интегралов II рода. Пусть y = f(x) непрерывна на [a;b) и f(x) 0, x [a;b). Тогда – площадь криволинейной трапеции с осно- ванием [a;b 1 ], ограниченной сверху кривой y = f(x). Е сли несобственный интеграл от y = f(x) по [a;b] сходится и равен S, то полагают, что область, ограниченная Ox, кривой y = f(x) и прямыми x = a, x = b (неограниченная криволинейная трапеция) имеет площадь S. В противном случае говорить о площади указанной области нельзя.

На сходящиеся несобственные интегралы II рода переносятся те же свойства определенных интегралов, что и для сходящихся интегралов I рода (свойства 4, 5, 6, 7, 8). Кроме того, для несобственных интегралов II рода также существует обобщение формулы Ньютона – Лейбница. Пусть F(x) – первообразная для f(x) на [a;b). Тогда b 1 [a;b) имеем (7)

Ранее вводили обозначение: Тогда (7) примет вид: (8) Формулу (8) называют обобщением формулы Ньютона – Лейбница для несобственных интегралов II рода от функций, неограниченных в точке b. Аналогично для несобственных интегралов II рода от функций, неограниченных в точке a, доказывается справедливость формулы

ПРИМЕРЫ. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: Сформулированные в п.2 признаки сходимости несобственных интегралов (теоремы 1, 2 и 3) останутся справедливы и для несобственных интегралов II рода. При использовании теорем 1 и 2 в роли «эталонных» интегралов используют интегралы

Замечание. Некоторым расходящимся несобственным интегралам можно приписать определенное числовое значение. А именно: 1)Если – расходится, но, то число A называют главным значением этого несоб- ственного интеграла. 2)Главным значением расходящегося интеграла от функции, имеющей бесконечный разрыв в точке c [a;b] называют число A, равное Обозначают соответствено: