Лектор Янущик О.В г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Числовые последовательности (основные определения, предел последовательности, свойства сходящихся последовательностей)

§2. Числовые последовательности 1. Основные понятия ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Последовательностью называется перенумерованное множество (чисел – числовая последовательность, функций – функциональная последовательность и т.д.) ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Последовательностью называется функция, заданная на множестве натуральных чисел. Если область значений последовательности – числовое множество, то последовательность называют числовой, если область значений – множество функций, то последовательность называют функциональной.

Принято обозначать: аргумент последовательности: n (или k) значения функции: x n, y n и т.д. Называют:x 1 – первый член последовательности, x 2 – второй член последовательности и т.д. x n – n-й (общий) член последовательности. Способы задания последовательностей: 1) явно (т.е. формулой x n = f(n) ) 2) рекуррентным соотношением (т.е. формулой x n = F(x n-1, x n-2,…, x n-k ) ) Записывают последовательность: { x 1, x 2, …, x n, …} – развернутая запись; { x n } – короткая запись (где x n – общий член)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Числовая последовательность { x n } называется ограниченной снизу, если a такое, что a x n, n ; ограниченной сверху, если b такое, что x n b, n ; ограниченной, если a,b такие, что a x n b, n Замечание. Условие « a,b такие, что a x n b » равносильно условию « M>0 такое, что | x n | M » возрастающей (неубывающей), если x n < x n+1 (x n x n+1 ), n ; убывающей (невозрастающей), если x n > x n+1 (x n x n+1 ), n ; Замечание. Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие последовательности называются монотонными.

2. Предел последовательности ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число a называется пределом последовательности { x n } если >0 N такое, что | x n – a | N. Записывают: Говорят: последовательность { x n } сходится (стремиться) к a. Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся (сходящейся к a) Последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ предела последовательности Пусть r, M(r) Ox Пусть x 0, >0. Интервал (x 0 – ; x 0 + ) называют -окрестностью точки x 0. (геометрическое определение -окрестности точки) Будем обозначать: U(x 0, ) Имеем:U(x 0, ) = {x | |x – x 0 | < } (алгебраическое определение -окрестности точки) Из определения предела последовательности получаем: если {x n } a, то с геометрической точки зрения это означает, что в любой -окрестности точки a находятся все члены последовательности {x n }, за исключением может быть конечного их числа. (Геометрическая интерпретация предела последовательности). !

СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 1) Две последовательности, отличающиеся на конечное число членов, ведут себя одинаково относительно сходимости. 2) Последовательность может иметь не более одного предела ДОК-ВО – самостоятельно 3) Если { x n } a, то { |x n | } |a|. ДОК-ВО – очевидно, в силу | |x n | – |a| | |x n – a|. 4) Сходящаяся последовательность ограничена ДОК-ВО

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность, сходящуюся к нулю, называют бесконечно малой. 5) ЛЕММА 1 (о роли б.м. последовательностей). Число a является пределом последовательности {x n } x n = a + n, где { n } – бесконечно малая. ДОК-ВО ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой, разностью, произведением, частным двух последовательностей {x n } и {y n } называются соответственно последовательности { x n + y n }, { x n – y n }, { x n y n },. Последовательность {cx n } называется произведением {x n } на число c (произведение последовательностей {x n } и {c})

6) Пусть {x n } – ограничена, { n } – бесконечно малая. Тогда {x n n } – бесконечно малая. ДОК-ВО. 7) Пусть { x n } и { y n } – сходящиеся и Тогда их сумма, разность, произведение и частное тоже являются сходящимися последовательностями, причем (доказать самостоятельно)

СЛЕДСТВИЕ свойства 7. Если {x n } сходится к a, то c последовательность {cx n } тоже сходится, причем Говорят: «константу можно вынести за знак предела» 8) Пусть {x n } a и x n 0 (или x n > 0), n. Тогда a 0. ДОК-ВО – самостоятельно. 9) Пусть {x n } и {y n } – сходящиеся последовательности и x n y n (x n < y n ) ), n. Тогда ДОК-ВО – следствие свойства 8.

10) ЛЕММА о двух милиционерах. Пусть последовательности {x n } и {y n } сходятся к одному и тому же числу и n имеет место неравенство x n z n y n, n. Тогда последовательность {z n } тоже сходится, причем ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число a называется пределом после- довательности { x n } если >0 N такое, что | x n – a | N. !