Лектор Янущик О.В г. Математический анализ Раздел: Введение в анализ Тема: Понятие функции (основные определения, классификация, основные характеристики поведения)

Литература Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 1,2 Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу

Математический анализ – часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются с помощью пределов. Глава I. Введение в анализ §1. Понятие функции 1. Основные понятия Пусть X,Y – множества произвольной природы. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если x X поставлен в соответствие единственный элемент y Y, то говорят, что на множестве X задана функция (отображение) с множеством значений Y. Записывают: f: X Y, y = f(x) (где f – закон, осуществляющий соответствие) Называют: X – область (множество) определения функции x (x X) – аргумент (независимая переменная) Y – область (множество) значений y (y Y) – зависимая переменная (функция)

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ 1) словесный; 2) табличный; 3) графический; ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место точек плоскости с координатами (x; f(x)). График функции y = f(x) будем также называть «кривой y = f(x)». 4) аналитический: а) явное задание (т.е. формулой y = f(x) ) б) неявное задание (т.е. с помощью уравнения F(x,y)=0 ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть заданы две функции: f : X Y, f(x) = y и : Y Z, (y) = z. Функция : X Z, (x) = z называется композицией функций и f или сложной функцией. ОБОЗНАЧАЮТ: f или f. Итак, по определению, f(x) = z = (y) = (f(x)) Поэтому сложную функцию называют еще функцией от функции. При этом функцию называют внешней, функцию f – внутренней.

Пусть задана функция f : X Y, f(x) = y и y 0 Y. Возможны два случая: а) существует единственный x 0 X такой, что f(x 0 ) = y 0 ; б) существуют x 1,x 2,… X такие, что f(x i ) = y 0. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если y 0 Y существует единственный x 0 X такой, что f(x 0 ) = y 0, то функцию f(x) называют биекцией (или взаимно однозначной). Если y = f(x) – биекция, то можно определить функцию : Y X, (y 0 ) = x 0. Эту функцию называют обратной к функции f и в общем случае обозначают f –1.

Функции y = f(x) и x = f –1 (y) выражают одну и ту же связь между переменными x и y. Поэтому графики функции y = f(x) и ее обратной функции x = f –1 (y) совпадают. Для удобства, обратную функцию записывают в виде y = f –1 (x) (т.е. переобозначают переменные). Графики функций y = f(x) и y = f –1 (x) симметричны отно- сительно биссектрисы 1-го и 3-го координатного угла (т.к. при переобозначении переменных оси Ox и Oy меняются местами).

2. Классификация вещественных функций, вещественного аргумента

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой y = f(x), где f(x) – выражение, составленное из основных элементарных функций и действительных чисел с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ: 1) степенные: y = x r (r ) 2) показательные: y = a x (a > 0, a 1) 3) логарифмические: y = log a x (a > 0, a 1) 4) тригонометрические: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx 5) обратные тригонометрические: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx

Функция называется алгебраической, если ее значения можно получить из аргумента и действительных чисел с помощью конечного числа алгебраических операций (т.е. сложения, вычитания, умножения, деления) и возведения в степень с рациональным показателем. Функция, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной.

Алгебраическая функция называется рациональной, если среди действий, которые производятся над независимой переменной, отсутствует извлечение корня. Алгебраическая функция, не являющаяся рациональной, называется иррациональной.

ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ: 1) степенные: y = x r (r ) 2) показательные: y = a x (a > 0, a 1) 3) логарифмические: y = log a x (a > 0, a 1) 4) тригонометрические: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx 5) обратные тригонометрические: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx

Многочлен (полином) – рациональная функция вида P n (x) = a 0 x n + a 1 x n–1 + … +a n–1 x + a n, гдеn (n – степень многочлена), a 0,a 1,…,a n (a 0,a 1, …, a n – коэффициенты многочлена). Рациональная дробь – отношение двух многочленов, т.е.

3. Основные характеристики поведения функции 1) Четность функции Функция y = f(x) называется четной, если : а)область определения функции D(f ) симметрична отно- сительно начала координат; б)f(–x) = f(x), x D(f ). Функция y = f(x) называется нечетной, если : а)область определения функции D(f ) симметрична отно- сительно начала координат; б)f(–x) = –f(x), x D(f ). Функция, не являющаяся четной или нечетной, называется функцией общего вида. График четной функции симметричен относительно оси Oy. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2) Периодичность функции ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) const называется периодической, если t 0 такое, что а) x + t, x – t D(f ), x D(f); б) f(x t) = f(x). Число t при этом называют периодом функции. Если y = f(x) – периодическая, то ее наименьший положи- тельный период T называют основным периодом. любой период функции имеет вид kT, где k = 1, 2, … График периодической функции состоит из повторяющихся фрагментов.

3) Монотонность функции ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Функция y = f(x) называется возрастающей (неубываю- щей) на интервале (a;b) если x 1,x 2 (a;b) таких, что x 1 < x 2 выполняется неравенство f(x 1 ) < f(x 2 ) (f(x 1 ) f(x 2 )). Функция y = f(x) называется убывающей (невозрастаю- щей) на интервале (a;b) если x 1,x 2 (a;b) таких, что x 1 < x 2 выполняется неравенство f(x 1 ) > f(x 2 ) (f(x 1 ) f(x 2 )). Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие функции называются монотонными.

4) Ограниченность функции ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Функция y = f(x) называется ограниченной снизу, если a такое, что a f(x), x D(f ). Функция y = f(x) называется ограниченной сверху, если b такое, что f(x) b, x D(f ). Функция, ограниченная сверху и снизу, называется ограниченной. Функция ограниченная, если a,b такие, что a f(x) b, x D(f ). Функция y = f(x) ограничена M > 0 такое, что | f(x) | M, x D(f ).

ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ: 1) степенные: y = x r (r ) 2) показательные: y = a x (a > 0, a 1) 3) логарифмические: y = log a x (a > 0, a 1) 4) тригонометрические: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx 5) обратные тригонометрические: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx