Лектор Янущик О.В г. Математический анализ Раздел: Определенный интеграл Тема: Замена переменной, интегрирование по частям в определенном интеграле. Применение определенного интеграла

2. Замена переменной в определенном интеграле ТЕОРЕМА 3 (о замене переменной в определенном интеграле). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] (или [b;a]) и функция x = (t) удовлетворяет условиям 1) (t) непрерывно дифференцируема на отрезке с концами и ; 2) ( ) = a, ( ) = b и значения (t) при изменении t от до не выходят за пределы отрезка с границами a и b. Тогда функция f( (t)) (t) интегрируема на [ ; ] (или [ ; ]) и справедлива формула (3) Формула (3) называется формулой замены переменной в определенном интеграле. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

ПРИМЕР. Вычислить интеграл. Замечание. Замена переменной в определенном интеграле чаще производится по формуле (3), прочитанной справа налево: где t = (x), = (a), = (b). ПРИМЕР. Вычислить интеграл

3. Формула интегрирование по частям в определенном интеграле ТЕОРЕМА 4. Пусть функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы на [a;b]. Тогда существуют интегралы и и справедливо равенство (4) Формула (4) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

§3. Приложения определенных интегралов 1. Площадь плоской области I) Плоская область в декартовой системе координат В ДСК основная область, площадь которой находят с по- мощью определенного интеграла – криволинейная трапеция. Возможны 3 случая ее расположения на плоскости: 1) 2) если y = f(x): то где x( ) = a, x( ) = b.

1) 2) если y = f(x): то где x( ) = a, x( ) = b. S = S 1 + S 2 + S 3 + S 4

Кроме того, в ДСК с помощью определенного интеграла можно найти площадь области, правильной в направлении оси Oy. Правильной в направлении оси Oy является область (σ), ограниченная линиями x = a, x = b, y = f 1 (x), y = f 2 (x), где a < b и f 1 (x) f 2 (x), x [a;b]. Замечание. Прямые x = a и x = b могут вырождаться в точки. Возможны 3 случая расположения области (σ) на плоскости: Во всех трех случаях справедлива формула:

II) Плоская область в полярной системе координат В ПСК основная область, площадь которой находят с по- мощью определенного интеграла – криволинейный сектор. Криволинейным сектором называется область, ограничен- ная двумя лучами =, = и кривой r = f( ). Его площадь находится по формуле:

2. Длина плоской кривой I)Плоская кривая в декартовой системе координат Пусть y = f(x) – непрерывно дифференцируема на [a;b]. ЗАДАЧА: найти длину кривой y = f(x), где x [a;b]. РЕШЕНИЕ Разобьем [a;b] на n частей точками x 0 = a, x 1, x 2, …, x n = b (где x 0 < x 1 < x 2 < … < x n ) ( ) разобьется на части ( 1 ),( 2 ),…,( n ) точками M 0, M 1,…, M n = i, где i – длина ( i )

Рассмотрим дугу ( i ). Если ( i ) мала, то гдеΔx i = x i – x i–1, Δy i = f (x i ) – f (x i–1 ). По теореме Лагранжа Δy i = f (x i ) – f (x i–1 ) = f ( i ) Δx i, где i – точка между x i–1 и x i.