Лекция Дифференциальное уравнение теплопроводности 1.5. Условия однозначности 1.6. Методы решения уравнения теплопроводности

1.4. Дифференциальное уравнение теплопроводности (1.12) Дифференциальное уравнение температурного поля движущейся жидкости - уравнение энергии при = const

1.4. Дифференциальное уравнение теплопроводности Дифференциальное уравнение теплопроводности (1.13) - коэффициент температуропроводности при х = y = z =0, с р = с v = с имеем:

(1.14) ДУ теплопроводности в цилиндрической системе координат: 1.4. Дифференциальное уравнение теплопроводности

1.5. Условия однозначности геометрические условия физические условия граничные условия начальные условия Условиями однозначности являются:

1.5. Условия однозначности При решении задач теплопроводности различают 1. Граничные условия первого рода: 2. Граничные условия второго рода: (1.15) (1.16)

1.5. Условия однозначности 3. Граничные условия третьего рода: (1.17)

1.5. Условия однозначности 4. Граничные условия четвертого рода: (1.18)

1.6. Методы решения уравнения теплопроводности 1.Классические методы 2.Методы интегрального преобразования 3.Численные методы

1.6. Методы решения уравнения теплопроводности 1. Классические методы 1.1. Метод разделения переменных

1.6. Методы решения уравнения теплопроводности (1.19) 1.1. Метод разделения переменных Частное решение: Общее решение: (1.20)

1.6. Методы решения уравнения теплопроводности 1.2. Метод источников 1. Классические методы сводится к правильному выбору источников и их распределению 2. Методы интегрального преобразования 2.1. Метод преобразования Лапласа работа ведется не с оригиналом функции, а с ее изображением 2.2. Метод конечных интегральных преобразований отличается от метода Лапласа иным видом изображения функции и простотой методики решения

1.6. Методы решения уравнения теплопроводности 3. Численные методы 1. Метод конечных разностей по явной разностной схеме 2. Метод конечных разностей по неявной разностной схеме 3. Метод элементарных балансов Ваничева 4. Метод контрольного объема (конечных элементов)

1.6. Методы решения уравнения теплопроводности 3.1. Построение сетки

1.6. Методы решения уравнения теплопроводности 3.2. Аппроксимация дифференциальных операторов Рассмотрим уравнение теплопроводности вида: (1.21) Производные, заменяются их разностными аналогами

1.6. Методы решения уравнения теплопроводности (1.22) (1.23) (1.24)

1.6. Методы решения уравнения теплопроводности После подстановки (1.22) – (1.24) в (1.21) получаем разностный аналог уравнения теплопроводности: (1.25)

1.6. Методы решения уравнения теплопроводности После преобразований (1.25) приводится к виду: (1.26) здесь:

1.6. Методы решения уравнения теплопроводности 3.3. Метод прогонки Рассмотрим задачу: (1.27) причемдля всех i = 1, 2,..., N – 1.

1.6. Методы решения уравнения теплопроводности Предположим, что имеет место рекуррентное соотношение: (1.28) с неопределенными коэффициентами α i и β i. подставим (в 1.27): Выражение

1.6. Методы решения уравнения теплопроводности Воспользуемся соотношением (1.28): Это уравнение выполнено для любых T i, если

1.6. Методы решения уравнения теплопроводности Отсюда получаем формулы (1.29) (1.30)

1.6. Методы решения уравнения теплопроводности при i = 0 имеем с другой стороны, Поэтому, (1.31) (1.32)

1.6. Методы решения уравнения теплопроводности из решения системы уравнений: если имеем: (1.33)

1.6. Методы решения уравнения теплопроводности формулы «прогонки» в порядке использования:

1.6. Методы решения уравнения теплопроводности

Блок-схема программы расчета теплообмена в пластине по неявной схеме

1.6. Методы решения уравнения теплопроводности