Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией на плоскости называют геометрическое место точек M(x;y), координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y) = 0, (1) где F(x,y) – многочлен степени n. Поверхностью называют геометрическое место точек M(x;y;z), координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y,z) = 0,(2) где F(x,y,z) – многочлен степени n. Линией в пространстве называют пересечение двух поверхностей. Уравнения (1) и (2) называют общими уравнениями линии на плоскости и поверхности соответственно. Степень многочлена F(x,y) ( F(x,y,z) ) называют порядком линии (поверхности).

§ Прямая на плоскости 1. Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0 ;y 0 ), перпендикулярно вектору

ВЫВОДЫ: 1) Прямая на плоскости является линией первого порядка. В общем случае она задается уравнением Ax+By+C = 0, где A,B,C – числа. 2) Коэффициенты A и B не обращаются в ноль одновременно, так как с геометрической точки зрения это координаты вектора, перпендикулярного прямой. Вектор, перпендикулярный прямой, называют нормальным вектором этой прямой.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ. Если в уравнении Ax+By+C = 0 все коэффициенты A,B и C отличны от нуля, то уравнение называют полным; если хотя бы один из коэффициентов равен нулю – уравнение называют неполным. 1) Пусть общее уравнение прямой – полное. Тогда его можно записать в виде С геометрической точки зрения a и b – отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях Ox и Oy соответственно. Уравнение (5) называют уравнением прямой в отрезках.

2) Пусть в общем уравнении прямой коэффициенты A и B – ненулевые, а C = 0, т.е. уравнение прямой имеет вид Ax+By = 0. Такая прямая проходит через начало координат O(0;0).

3) Пусть в общем уравнении прямой один из коэффициентов A или B – нулевой, а C 0, т.е. уравнение прямой имеет вид Ax+C = 0 или By+C = 0. Эти уравнения можно записать в виде x = a и y = b. 4) Пусть в общем уравнении прямой C = 0 и один из коэффициентов A или B тоже нулевой, т.е. уравнение прямой имеет вид Ax = 0 или By = 0. Эти уравнения можно записать в виде x = 0 (уравнения координатной оси Oy) и y = 0 (уравнения координатной оси Ox).

Замечание. Пусть прямая не проходит через O(0;0). Тогда уравнение можно записать в виде cosα·x + cosβ·y + C = 0, где C = – p (доказать самим). Этот частный случай общего уравнения прямой называется нормальным уравнением прямой. Обозначим: 1) P 0 (x 0 ;y 0 ) – основание перпендикуляра, опущенного на из начала координат,

2. Другие формы записи уравнения прямой на плоскости 1) Параметрические уравнения прямой ЗАДАЧА 2. Записать уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0 ;y 0 ), параллельно вектору Вектор, параллельный прямой, называют направляющим вектором этой прямой.

2) Каноническое уравнение прямой на плоскости 3) Уравнение прямой, проходящей через две точки – частный случай канонического уравнения прямой. Пусть прямая проходит через две точки M 1 (x 1,y 1 ) и M 2 (x 2,y 2 ).

4) Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть прямая не параллельна оси Ox. Тогда она пересекается с Ox, образуя при этом две пары вертикальных углов. Угол, отсчитываемый от оси Ox к прямой против часовой стрелки, называют углом наклона прямой к оси Ox. Число k = tg (если оно существует, т.е. если прямая не параллельна оси Oy) называют угловым коэффициентом прямой. Для прямой, параллельной оси Ox, угол наклона прямой к оси Ox считают равным нулю. Следовательно, угловой коэффициент такой прямой k = tg0 = 0.

Пусть прямая не параллельна оси Ox и Oy и проходит через точки M 1 (x 1,y 1 ) и M 2 (x 2,y 2 ) (где x 1 < x 2 ). Найдем угловой коэффициент этой прямой.

Уравнение y – y 1 = k·(x – x 1 ) – это уравнение прямой, проходящей через точку M 1 (x 1,y 1 ) и имеющей угловой коэффициент k. Перепишем это уравнение в виде y = kx + b (где b = y 1 – kx 1 ). Его называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. С геометрической точки зрения b – отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy. Замечание. Уравнение прямой с угловым коэффициентом было получено в предположении, что прямая не параллельна оси Ox и Oy. Для прямой, параллельной Ox общее уравнение можно рассматривать как уравнение с угловым коэффициентом. Действительно, уравнение такой прямой y = b или y = 0·x + b, где k = 0 – угловой коэффициент прямой.

3. Взаимное расположение прямых на плоскости На плоскости две прямые могут: а) быть параллельны, б) пересекаться. Пусть уравнения прямых 1 и 2 имеют вид: 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 или y = k 1 x + b 1 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 или y = k 2 x + b 2 1) Пусть прямые параллельны:

Получаем, что прямые 1 и 2 параллельны тогда и только тогда, когда в их общих уравнениях коэффициенты при соответствующих текущих координатах пропорциональны, т.е. или их угловые коэффициенты равны, т.е. k 1 = k 2.

2) Пусть прямые пересекаются где знак плюс берется в том случае, когда надо найти величину острого угла, а знак минус – когда надо найти величину тупого угла. критерий перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями.

где знак плюс берется в том случае, когда надо найти величину острого угла, а знак минус – когда надо найти величину тупого угла. критерий перпендикулярности прямых, имеющий угловые коэффициенты k 1 и k 2.

4. Расстояние от точки до прямой ЗАДАЧА 3. Пусть прямая задана общим уравнением Ax + By + C = 0, M 0 (x 0 ;y 0 ) – точка, не принадлежащая прямой. Найти расстояние от точки M 0 до прямой.

§ Плоскость 1. Общее уравнение плоскости и его исследование ЗАДАЧА 1. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ), перпендикулярно вектору Вектор, перпендикулярный плоскости, называют нормальным вектором этой плоскости.

ВЫВОДЫ: 1) Плоскость является поверхностью первого порядка. В общем случае она задается уравнением Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C,D – числа. 2) Коэффициенты A, B, C не обращаются в ноль одновременно, так как с геометрической точки зрения это координаты вектора, перпендикулярного плоскости.

ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ Если в уравнении Ax+By+Cz+D = 0 все коэффициенты A,B,C и D отличны от нуля, то уравнение называют полным; если хотя бы один из коэффициентов равен нулю – неполным. 1) Пусть общее уравнение плоскости – полное. Тогда его можно записать в виде С геометрической точки зрения a,b и c – отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях Ox, Oy и Oz соответственно. Уравнение (3) называют уравнением плоскости в отрезках.

2) Пусть в общем уравнении плоскости коэффициенты A, B и C – ненулевые, а D = 0, т.е. уравнение плоскости имеет вид Ax+By +Cz = 0. Такая плоскость проходит через начало координат O(0;0;0). 1 : By+Cz = 0 (пересечение с плоскостью Oyz) 2 : Ax+By = 0 (пересечение с плоскостью Oxy)

а) плоскость отсекает на осях Ox и Oy отрезки a и b соответственно и параллельна оси Oz; 3) Пусть в общем уравнении плоскости один из коэффициентов A, B или C – нулевой, а D 0, т.е. уравнение плоскости один из следующих трех видов: а) Ax+By+D = 0 б) Ax+Cz+D = 0 в) By+Cz+D = 0. Эти уравнения можно записать соответственно в виде

б) плоскость отсекает на осях Ox и Oz отрезки a и c соответственно и параллельна оси Oy; в) плоскость отсекает на осях Oy и Oz отрезки b и c соответственно и параллельна оси Ox. Иначе говоря, плоскость, в уравнении которой отсутствует одна из координат, параллельна оси отсутствующей координаты.

4) Пусть в уравнении плоскости (2) два из трех коэффициентов A, B или C – нулевые, а D 0, т.е. уравнение плоскости имеет вид: а) Ax+D = 0 или б) By+D = 0 или в) Cz+D = 0. Эти уравнения можно записать соответственно в виде: а) плоскость отсекает на оси Ox отрезок a и параллельна осям Oy и Oz (т.е. параллельна плоскости Oyz);

б) плоскость отсекает на Oy отрезок b и параллельна осям Ox и Oz (т.е. параллельна плоскости Oxz); в) плоскость отсекает на Oz отрезок c и параллельна осям Ox и Oy (т.е. параллельна плоскости Oxy). Иначе говоря, плоскость, в уравнении которой отсутствуют две координаты, параллельна координатной плоскости, проходящей через оси отсутствующих координат.

5) Пусть в общем уравнении плоскости (2) D = 0 и один из коэффициентов A, B или C тоже нулевой, т.е. уравнение плоскости имеет вид: а) Ax+By = 0 или б) Ax+Cz = 0 или в) By+Cz = 0. Плоскость проходит через начало координат и ось отсутствующей координаты

6) Пусть в общем уравнении плоскости (2) три коэффициента равны нулю, т.е. уравнение плоскости имеет вид а) Ax = 0 или б) By = 0 или в) Cz = 0. Эти уравнения можно записать соответственно в виде: а) x = 0 – уравнение координатной плоскости Oyz; б) y = 0 – уравнение координатной плоскости Oxz, в) z = 0 – уравнение координатной плоскости Oxy.

Замечание. Пусть плоскость λ не проходит через O(0;0;0). Тогда уравнение λ можно записать в виде cosα · x + cosβ · y + cosγ · z + D = 0, где D = – p (доказать самим). Этот частный случай общего уравнения плоскости называется нормальным уравнением плоскости. Обозначим: 1) P 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) – основание перпендикуляра, опущенного на λ из начала координат,

2. Другие формы записи уравнения плоскости 1) Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам ЗАДАЧА 2. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ), параллельно неколлинеарным векторам Другие формы записи: Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору (см. уравнение (1) и (1*)); Уравнение плоскости в отрезках (см уравнение (2)); Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам; Уравнение плоскости, проходящей через три точки;

2)Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой – частный случай уравнения (4) Пусть плоскость проходит через три точки M 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ), M 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 ) и M 3 (x 3 ;y 3 ;z 3 ), не лежащие на одной прямой.

3. Взаимное расположение плоскостей В пространстве две плоскости могут: а) быть параллельны, б) пересекаться. Пусть уравнения плоскостей λ 1 и λ 2 имеют вид: λ 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 λ 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 Тогда:

1) Пусть плоскости параллельны: Получаем, что плоскости λ 1 и λ 2 параллельны тогда и только тогда, когда в их общих уравнениях коэффициенты при соответствующих неизвестных пропорциональны, т.е.

2) Пусть плоскости пересекаются где знак плюс берется в том случае, когда надо найти величину острого угла, а знак минус – когда надо найти величину тупого угла.

Частный случай – плоскости перпендикулярны, т.е. критерий перпендикулярности плоскостей, заданных общими уравнениями.

4. Расстояние от точки до плоскости ЗАДАЧА 3. Пусть плоскость λ задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) – точка, не принадлежащая плоскости λ. Найти расстояние от точки M 0 до плоскости λ.

§ Прямая в пространстве 1. Уравнения прямой в пространстве Пусть A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0 и A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0 – уравнения любых двух различных плоскостей, содержащих прямую. Тогда координаты любой точки прямой удовлетворяют одновременно обоим уравнениям, т.е. являются решениями системы Систему (1) называют общими уравнениями прямой в пространстве.

Другие формы записи уравнений прямой в пространстве – ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ и КАНОНИЧЕСКИЕ уравнения. ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ), параллельно вектору Вектор, параллельный прямой в пространстве, называют направляющим вектором этой прямой.

называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве (в векторной и координатной форме соответственно).

Частным случаем канонических уравнений являются УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ. Пусть прямая проходит через точки M 1 (x 1,y 1,z 1 ) и M 2 (x 2,y 2,z 2 ).

2. Переход от общих уравнений прямой к каноническим Пусть прямая задана общими уравнениями: Чтобы записать канонические (параметрические) уравнения этой прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и координаты какой-нибудь точки M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) на прямой. а) Координаты точки M 0 – это одно из решений системы (1). б) Направляющий вектор

3. Взаимное расположение прямых в пространстве В пространстве две прямые могут: а) быть параллельны, б) пересекаться, в) скрещиваться. Пусть прямые 1 и 2 заданы каноническими уравнениями: 1) Пусть прямые 1 и 2 параллельны:

2) Пусть прямые 1 и 2 пересекаются: Получили: прямые 1 и 2 пересекаются они не параллельны и для них выполняется условие или, в координатной форме, 3) Если для прямых 1 и 2 не выполняется условие (6) и (7) ((7*)), то прямые скрещиваются.

4. Задачи, связанные с возможным взаимным расположением прямых Возможное расположение прямых в пространстве приводит к следующим задачам: 1) параллельные прямые расстояние между прямыми (т.е. расстояние от точки до прямой)? 2) пересекающиеся прямые а) угол между прямыми? б) точка пересечения прямых? 3) скрещивающиеся прямые а) угол между прямыми? б) расстояние между прямыми?

ЗАДАЧА 2. Найти угол между пересекающимися (скрещивающимися) прямыми в пространстве. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между двумя скрещивающимися прямыми 1 и 2 называется угол между прямой 1 и проекцией прямой 2 на любую плоскость, проходящую через прямую 1. Т.е., угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным. Получаем: где знак плюс берется для острого угла, а знак минус – для тупого.

ЗАДАЧА 3. Найти расстояние от точки до прямой в пространстве.

ЗАДАЧА 4. Найти расстояние между скрещивающимися прямыми. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. где Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости λ, M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 ) – любая точка на прямой 2.

Тогда d – высота пирамиды, опущенная из точки M 2. Следовательно:

ЗАДАЧА 5. Найти точку пересечения прямых. Пусть M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) – точка пересечения прямых. Тогда (x 0 ;y 0 ;z 0 ) – решение системы уравнений

5. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Пусть в пространстве заданы плоскость λ и прямая. Они могут 1) быть параллельны; 2) прямая может лежать в плоскости; 3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке.

а)Если прямая параллельна плоскости или прямая принадлежит плоскости, то Если условие (10) (условие (11)) не выполняется, то прямая и плоскость пересекаются в одной точке. б)Если прямая принадлежит плоскости, то координаты любой ее точки удовлетворяют уравнению плоскости, и, следовательно, кроме условия (10) ((11)) выполняется условие Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0, где M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) – любая точка прямой.

Частным случаем пересечения прямой и плоскости в одной точке является перпендикулярность прямой и плоскости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между прямой и плоскостью λ называется угол φ между прямой и ее проекцией на плоскость λ. Из определения следует, что угол между прямой и плоскостью всегда острый.