Модели элементов электромеханических систем

Математическая модель сложной ЭМС состоит из моделей отдельных элементов системы, которые в зависимости от выполняемых функций и схемного решения описывают дифференциальными уравнениями и системами дифференциальных уравнений разного порядка. Поэтому условно можно рассматривать модели элементов ЭМС в зависимости от порядка дифференциального уравнения или системы уравнений.

Модели, описываемые дифференциальными уравнениями первого порядка Моделями, описываемыми ДУ 1-го порядка, например, могут являться RL- и RC-цепи, используемые в качестве фильтров низких и высоких частот. Рассмотрим описание процессов в RL и RC цепях при подключении их к источнику напряжения постоянного тока.

Схема коммутации RL-цепи

Процессы, протекающие в цепи при замыкании ключа, описываются дифференциальным уравнением 1 порядка, составленным по второму закону Кирхгофа:

Схема коммутации RС-цепи

Дифференциальное уравнение, описывающее процессы в данной цепи после замыкания ключа, имеет следующий вид: Учитывая, что это уравнение можно записать

Как видно, переменными состояния в RL- и RC-цепях являются ток через катушку индуктивности и напряжение на конденсаторе соответственно.

Решение дифференциальных уравнений Анализ процессов в моделях, описываемых дифференциальными уравнениями первого порядка, осуществляют обычно решая эти уравнения классическим способом. Решение этих уравнений имеет следующий вид:

Для RL – цепи. где i ч - частное решение неоднородного дифференциального уравнения; i o (t) – общее решение однородного уравнения.

Для RC - цепи где U Cчаст - частное решение неоднородного дифференциального уравнения; U Co - общее решение однородного уравнения.

Частные решения Для нахождения частных решений неоднородных ДУ подставим в исходные уравнения значение t =. Тогда получим: E=i ч ·R или i ч =E/R - для цепи RL U C част = E - для цепи RC

Решение однородных уравнений

имеют следующий вид:

Общее решение неоднородных уравнений

Определение постоянных интегрирования при t=0 i(0)=0; U C (0)=0, тогда можно записать следующие уравнения:

и определить постоянные интегрирования, а именно:

Определение корней характеристических уравнений Для RL – цепи характеристическое уравнение имеет вид:

а для RС - цепи

В итоге временные зависимости тока в RL – цепи и напряжения в RC - цепи при коммутации их на источник постоянного напряжения можно представить в виде:

Изменения тока в RL- цепи

Изменение напряжения в RC - цепи

Модели, описываемые дифференциальными уравнениями второго порядка В качестве моделей, описываемых ДУ 2-го порядка, можно рассмотреть нагруженные RLC-фильтры низких и высоких частот, а также двигатель постоянного тока независимого возбуждения, являющегося основным исполнительным элементом ЭМС постоянного тока.

Фильтр низких частот Ненагруженный RLC-фильтр представляет собой последовательно соединенные резистор, катушку индуктивности и конденсатор. В зависимости от того, с какого элемента (индуктивности или емкости) будет сниматься напряжение в качестве выходного, фильтр может пропускать высокие или низкие частоты.

Схема коммутации фильтра низких частот (ФНЧ)

Вывод уравнений Составим по второму закону Кирхгофа дифференциальное уравнение, описывающее динамику процессов в ФНЧ 2-го порядка:

Дифференциальное уравнение для цепи по первому закону Кирхгофа Учитывая, что данная СДУ запишется в виде:

Приведение системы уравнений Запишем СДУ в нормальной форме Коши:

В матричном виде:

Здесь -матрица коэффициентов перед переменными состояния;

-вектор свободных членов СДУ; -вектор переменных состояния.

Двигатель постоянного тока независимого возбуждения Одним из основных электромеханических преобразователей энергии в регулируемом электрическом приводе является двигатель постоянного тока независимого возбуждения (ДПТ НВ). Рассмотрим схему подключения ДПТ НВ к источнику постоянного напряжения U.

Схема двигателя

Схема замещения Для двигателя с магнитоэлектрическом возбуждением схема замещения якорной цепи имеет следующий вид:

При составлении математической модели ДПТ НВ примем следующие допущения. Считаем, что реакция якоря полностью скомпенсирована (в реальном ДПТ всегда есть компенсационная обмотка либо добавочные полюса), поток возбуждения постоянен, а активное сопротивление якорной цепи не изменяется во время работы двигателя.

Уравнения электрического равновесия Запишем дифференциальное уравнение электрического равновесия якорной цепи двигателя

где R дв – суммарное активное сопротивление последовательно включенных обмотки якоря и добавочных полюсов в горячем состоянии (при t = 75 0 C ); L дв – суммарная индуктивность якорной цепи; E дв (t) – противо-ЭДС двигателя; U 1(t) – напряжение, приложенное к якорной цепи; i(t) – ток в цепи обмотки якоря.

Уравнение механического равновесия Уравнение механического равновесия двигателя имеет вид: где M(t)- электромагнитный момент ДПТ НВ; M C 1(t) – момент сопротивления нагрузки; J дв – суммарный момент инерции, приведенный к валу двигателя; ω(t) – скорость двигателя.

Учитывая, что c - коэффициент ЭДС и момента ДПТ НВ), запишем систему дифференциальных уравнений:

Приведем систему уравнений к нормальной форме Коши:

Запишем СДУ в матричном виде: Здесь

- матрица коэффициентов перед переменными состояния; -вектор свободных членов СДУ; -вектор переменных состояния

Из полученной математической модели ДПТ НВ видно, что переменными состояния в нем являются скорость вала и ток в якорной цепи. Эти переменные состояния соответственно связаны с массой вала и индуктивностью обмотки якоря, то есть с механической и электрической инерционностями двигателя.

Модель широтно-импульсного преобразователя Для регулирования скорости электроприводов постоянного тока очень часто используются широтно-импульсные преобразователи (ШИП). К основным достоинствам данного преобразователя относятся хорошие динамические свойства и линейность регулировочных характеристик. Принципиальная схема реверсивного ШИП имеет следующий вид:

Принципиальная схема

Для приближенного анализа динамики ШИП дискретную модель преобразователя можно заменить на непрерывную модель – апериодическое звено 1-го порядка. В этом случае динамическое состояние ШИП можно описать ДУ 1-го порядка:

где U (t) – входное напряжение управления ШИП; U d (t) – выходное напряжение ШИП; T ПР – постоянная времени ШИП; k ПР – коэффициент передачи ШИП. Данное ДУ записано в стандартном для теории автоматического управления виде, то есть в левой части записаны функция выходной ко- ординаты и ее производная, а в правой части – все остальные слагаемые.

При этом коэффициент перед выходной координатой равен единице. В таком случае коэффициент перед первой производной выходной координаты T ПР имеет размерность времени и является постоянной времени ШИП, а число перед входной координатой k ПР представляет собой коэффициент передачи ШИП.

Постоянная времени Постоянную времени ШИП можно определить как половину периода частоты коммутации силовых ключей ШИП:

где - частота коммутации силовых ключей преобразователя. Коэффициент передачи ШИП можно рассчитать как отношение предельного выходного напряжения к предельному входному:

где U У.МАКС – максимальное напряжение управления на входе ШИП; ω H – номинальная скорость ДПТ НВ; c – коэффициент ЭДС и момента ДПТ НВ.

Математические модели регуляторов замкнутых ЭМС В современных системах управления, в частности и в ЭМС, получили широкое распространение регуляторы, выполненные на операционных усилителях. В зависимости от математического закона, по которому ведёт себя выходное напряжение регулятора при подаче на вход прямоугольного импульса, регуляторы подразделяют на пропорциональные, интегральные и дифференциальные. В ЭМС применяются следующие виды регуляторов: пропорциональный, пропорционально- интегральный, пропорционально- интегрально-дифференциальный.

Математическая модели П-регулятора. Схема пропорционального регулятора (П- регулятора), суммирующего и усиливающего два входных напряжения U ВХ1 и U ВХ2, имеет следующий вид:

Уравнение П-регулятора. Выходное напряжение П - регулятора определим как где k рег = R3/R1- коэффициент передачи П – регулятора. Применив к этому уравнению прямое преобразование Лапласа с нулевыми начальными условиями получим

Передаточная функция W(р) П-регулятора как элемента ЭМС определяется как отношение изображения выходного напряжения U ВЫХ (р) к изображению входного

При включении регулятора в ЭМС первое входное напряжение соответствует напряжению задания U ВХ1 (р) = U ЗАД (р), а второе входное напряжение соответствует напряжению отрицательной обратной связи U ВХ1 (р) = -U ОС (р). Выходное напряжение регулятора является входным напряжением управления U ВЫХ (р) = U У (р) для широтно- импульсного модулятора (ШИМ), управляющего ШИП.

П-регулятор как элемент ЭМС Как элемент электромеханической системы структурную схему П – регулятора можно представить в виде:

При одинаковых сопротивлениях R1=R2=R3 выходное напряжение регулятора равно сумме входных напряжений.

Математическая модель ПИ- регулятора Схема пропорционально-интегрального регулятора (ПИ-регулятора), суммирующего и усиливающего два входных напряжения U ВХ1 и U ВХ2, имеет следующий вид

Дифференциальное уравнение ПИ-регулятора Представим дифференциальное уравнение, описывающее динамику ПИ- регулятора, как

В случае равенства R1=R2 получим Введём для ПИ-регулятора коэффициент передачи k РЕГ = R3 / R1 и постоянную времени T РЕГ = C1 · R1. В этом случае дифференциальное уравнение, описывающее динамику ПИ-регулятора, будет выглядеть как

Применив прямое преобразование Лапласа с нулевыми начальными условиями, получим алгебраическое уравнение для изображений

на основании которого можно получить передаточную функцию ПИ-регулятора Передаточная функция ПИ-регулятора состоит из пропорциональной k РЕГ и интегральной (T РЕГ · р) -1 частей.

Обобщенный электромеханический преобразователь Основным элементом любой электромеханической системы является электромеханический преобразователь энергии (электрическая машина). Принцип работы любой электрической машины связан с двумя законами и правилами левой и правой руки. Это закон электромагнитной индукции и закон Ампера.

Поэтому при разработке математических моделей электромеханических преобразователей пользуются так называемым обобщенным электромеханическим преобразователем энергии. Математическое описание процессов в таком преобразователе позволяет при определенных допущениях получить математическую модель любой электрической машины, работающей как в двигательном, так и в генераторном режимах.

Основные допущения Обобщенный электромеханический преобразователь является упрощенной идеализированной моделью реальной электрической машины. Описание процессов, в котором осуществляют при следующих основных допущениях: реальная нелинейная характеристика намагничивания машины заменяется линейной;

магнитодвижущие силы обмоток синусоидальны; магнитная цепь ее ненасыщенна и потери мощности в ней отсутствуют; параметры обмоток статора и ротора сосредоточены. Такие допущения позволяют разработать схемы замещения любой электрической машины и соответственно их структурные модели как элементов электромеханических систем.

Обобщенный электромеханический преобразователя (ОЭМП) - это идеализированная двухфазная двухполюсная электрическая машина. Где приняты следующие обозначения: U su,U sv,U ru,U rv - напряжения, подводимые к обмоткам статора и ротора, расположенным на ортогональных осях ( u, v, 0 ), вращающихся в пространстве с частотой k ; e su, e sv, e ru, e rv ЭДС вращения, наводимые в обмотках статора и ротора реальной машины.

Схема обобщенного электромеханического преобразователя

Математическое описание ОЭМП Для упрощения математического описания всех электрических машин удивительно удачным и изящным оказался метод пространственного вектора, суть которого состоит в том, что мгновенные значения переменных состояния (напряжения, токи, потокосцепления) можно математически преобразовать так, чтобы они были бы представлены одним пространственным вектором.

Пространственный вектор Пространственный вектор позволил: Снизить число уравнений равновесия напряжений, описывающих электромагнитные процессы в электрических машинах до четырех; Записать эти уравнения в единой системе координат, вращающейся с произвольной скоростью

Все коэффициенты в уравнениях представить постоянными величинами, имеющими четкий физический смысл и их можно определить по паспортным данным двигателя, либо экспериментально. Электромагнитный момент в уравнении равновесия моментов представить векторным произведением пары векторов.

Основой математического описания процессов в ОЭМП являются уравнения Крона, состоящие из уравнений электрического равновесия напряжений, уравнения механического равновесия движения и уравнения электромагнитного момента.

Уравнения равновесия напряжений Дифференциальные уравнения равновесия для напряжений обмоток статора и ротора в векторной форме в общем случае записываются в виде

где -обобщенные (результирующие) вектора напряжений, токов, потокосцеплений статора и ротора; - активные сопротивления статора и ротора; - угловая скорость вращения координатных осей; - угловая скорость вращения ротора обобщенной электрической машины.

Уравнения механического равновесия Уравнение движения ротора или уравнение движения подвижного элемента ЭМС имеют следующий вид: где, - суммарный момент инерции, который складывается из момента инерции двигателя и приведенного момента инерции нагрузки на валу двигателя

M C момент статической нагрузки на валу двигателя; M электромагнитный момент электромеханического преобразователя. Электромагнитный вращающий момент преобразователя определяется скоростью изменения электромагнитной энергии при изменении угла поворота ротора и рассчитывается как частная производная

Математическая модель ОЭМП В общем виде уравнения, описывающие переходные процессы в ОЭМП, в системе координат, вращающейся с произвольной скоростью, имеют вид: