Графическое изображение электрического поля. Силовые линии напряженности электрического поля

Силовые линии напряженности электрического поля - линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором Е По их направлению можно судить, где расположены положительные (+) и отрицательные (–) заряды, создающие электрическое поле. Густота линий (количество линий, пронизывающих единичную площадку поверхности, перпендикулярную к ним) численно равно модулю вектора Е.

Силовые линии напряженности электрического поля Для однородного электрического поля линии параллельны вектору Е. (конденсатор) Для точечных зарядов линии напряженности электрического поля радиальные.

Силовые линии напряженности электрического поля Силовые линии напряженности электрического поля не замкнуты, имеют начало и конец. Можно говорить, что электрическое поле имеет «источники» и «стоки» силовых линий. Силовые линии начинаются на положительных (+) зарядах (Рис. а), заканчиваются на отрицательных (–) зарядах (Рис. б). Силовые линии не пересекаются.

Силовые линии напряженности электрического поля Диаграммы силовых линий: два заряда противоположного знака (диполь); два заряда одного знака; два заряда, один из которых –Q, а другой +2Q

Величина напряженности электрического поля характеризуется густотой линий. Число линий N, пронизывающих единичную где - вектор положительной нормали к dS. Если единичная площадка dS не перпендикулярна вектору Е, то число линий

Поток вектора напряженности электрического поля Произвольная площадка dS. Поток вектора напряженности электрического поля через площадку dS: - псевдовектор, модуль которого равен dS, а направление совпадает с направление вектора n к площадке dS. Е = constdФ Е = N - числу линий вектора напряженности электрического поля Е, пронизывающих площадку dS.

Поток вектора напряженности электрического поля Произвольная замкнутая поверхностьS. Положительное направление вектора n - внешняя нормаль, т.е. направленная наружу области, охватываемой поверхностью S.

Поток вектора напряженности электрического поля Если поверхность не плоская, а поле неоднородное, то выделяют малый элемент dS, который считать плоским, а поле – однородным. Поток вектора напряженности электрического поля: Знак потока совпадает со знаком заряда.

Закон (теорема) Гаусса в интегральной форме. Телесный угол – часть пространства, ограниченная конической поверхностью. Мера телесного угла – отношение площади S сферы, вырезаемой на поверхности сферы конической поверхностью к квадрату радиуса R сферы. 1 стерадиан – телесный угол с вершиной в центре сферы, вырезающий на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, по длине равной радиусу этой сферы.

Теорема Гаусса в интегральной форме Электрическое поле создается точечным зарядом +q в вакууме. Поток d Ф Е, создаваемого этим зарядом, через бесконечно малую площадку dS, радиус вектор которой r. dS n – проекция площадки dS на плоскость перпендикулярную в ектору r. n – единичный вектор положительной нормали к площадке dS.

Теорема Гаусса в интегральной форме (1) (2) (3) (4) (5) Начало отсчета совмещаем с точечным зарядом +q.

Теорема Гаусса в интегральной форме Поток d Ф Е через площадку dS и dS n один и тот же. Площадка dS n совпадает с элементом шаровой поверхности радиуса R с центром в точке О. α - мал, R r.

Теорема Гаусса в интегральной форме Для конической поверхности: Для замкнутой поверхности: Или из уравнения (8):

Теорема Гаусса в интегральной форме Точечный заряд +q охвачен сферической поверхностью. Этот результат справедлив для замкнутой поверхности любой формы, так как каждая линия вектора Е, пронизывающая сферу, пройдет и сквозь эту поверхность.

Если произвольная поверхность окружает k– зарядов, то согласно принципу суперпозиции: Теорема Гаусса: для электрического поля в вакууме поток вектора напряженности электрического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленных на ε 0.

Теорема Гаусса в интегральной форме Если внутри поверхности имеется каким-то образом распределенный заряд с объемной плотностью ρ ( ρ = dq/dV, Кл/м 3 ), то суммарный заряд, заключенный внутри поверхности площадью S, охватывающей объем V:

Теорема Гаусса в интегральной форме Поверхность не охватывает какой-либо заряд, то число силовых линий, входящих в поверхность, равно числу силовых линий выходящих из неё. Суммарный поток Ф Е этого заряда равен нулю. Ф Е = 0.

Методика применения теоремы Гаусса для расчета электрических полей – второй способ определения напряженности электрического поля Е Теорема Гаусса применяется для нахождения полей, созданных телами, обладающими геометрической симметрией. Тогда векторное уравнение сводится к скалярному.

Методика применения теоремы Гаусса для расчета электрических полей – второй способ определения напряженности электрического поля Е 1) Находится поток Ф Е вектора Е по определению потока. 2) Находится поток Ф Е по теореме Гаусса. 3) Из условия равенства потоков находится вектор Е.

Примеры применения теоремы Гаусса 1. Поле бесконечной однородно заряженной нити (цилиндра) с линейной плотностью τ ( τ = dq/dl, Кл/м). Поле симметричное, направлено перпендикулярно нити и из соображений симметрии на одинаковом расстоянии от оси симметрии цилиндра (нити) имеет одинаковое значение.

1. Поле бесконечной заряженной нити Поток вектора Е: Основание цилиндра: Боковая поверхность:

1. Поле бесконечной заряженной нити 1) 2) 3)

2.Поле равномерно заряженной сферы радиуса R. Поле симметричное, линии напряженности Е электрического поля направлены в радиальном направлении, и на одинаковом расстоянии от точки О поле имеет одно и то же значение. Вектор единичной нормали n к сфере радиуса r совпадает с вектором напряженности Е. Охватим заряженную (+q) сферу вспомогательной сферической поверхностью радиуса r.

2.Поле равномерно заряженной сферы радиуса R. 1) 2) 3)

2.Поле равномерно заряженной сферы При поле сферы находится как поле точечного заряда. При r < R: Е = 0

( σ = dq/dS, Кл/м 2 ). Поле симметричное, вектор Е перпендикулярен плоскости с поверхностной плотностью заряда +σ и на одинаковом расстоянии от плоскости имеет одинаковое значение. 3. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости с поверхностной плотностью заряда + σ В качестве замкнутой поверхности возьмем цилиндр, основания которого параллельны плоскости, и который делится заряженной плоскостью на две равные половины.

3. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

4. Поле двух равномерно заряженных бесконечных плоскостей с + σ и – σ. Вне плоскостей Между плоскостей

Теорема Ирншоу Система неподвижных электрических зарядов не может находиться в устойчивом равновесии. Заряд + q будет находиться в равновесии, если при его перемещении на расстояние dr со стороны всех остальных зарядов системы, расположенных вне поверхности S, будет действовать сила F, возвращающая его в исходное положение. Имеется система зарядов q 1, q 2, … q n. Один из зарядов q системы охватим замкнутой поверхностью S. n – единичный вектор нормали к поверхности S.

Теорема Ирншоу Сила F обусловлена полем Е, созданным всеми остальными зарядами. Поле всех внешних зарядов Е должно быть направлено противоположно направлению вектора перемещения dr, то есть от поверхности S к центру. Согласно теореме Гаусса, если заряды не охватываются замкнутой поверхностью, то Ф Е = 0. Противоречие доказывает теорему Ирншоу.

Теорема Ирншоу Поэтому общепринята модель атома Резерфорда – планетарная модель атома, в которой электроны движутся вокруг ядра по окружностям.

Закон Гаусса в дифференциальной форме Дивергенция вектора – число силовых линий, приходящихся на единицу объема, или плотность потока силовых линий. Пример: из объема вытекает и втекает вода. Ф > 0 вытекает больше, чем втекает. Ф < 0 вытекает меньше, чем втекает. Силовое поле вектора А. V – объем, ограниченный поверхностью S. N – число силовых линий, пронизывающих поверхность S (поток).

Закон Гаусса в дифференциальной форме Теорема Остроградского- Гаусса:

По закону Гаусса для вектора Е: где ρ – объемная плотность заряда, Кл/м 3. Теорема Остроградского-Гаусса для вектора Е: Закон Гаусса в дифференциальной форме.

Закон Гаусса в дифференциальной форме