Аналогичные вычисления для диэлектриков с полярными молекулами дают такой же результат. Из формулы( ) следует, что в тех местах диэлектрика, где дивергенция положительная, образуется избыток отрицательных связанных зарядов. Эти места являются источниками поля вектора поляризации, из них линии вектора расходятся. В тех же местах диэлектрика, где дивергенция отрицательная, образуется избыток положительных связанных зарядов, к ним линии вектора поляризации сходятся. Эта зависимость показана на рисунках. Аналогичные вычисления для диэлектриков с полярными молекулами дают такой же результат. Из формулы( ) следует, что в тех местах диэлектрика, где дивергенция положительная, образуется избыток отрицательных связанных зарядов. Эти места являются источниками поля вектора поляризации, из них линии вектора расходятся. В тех же местах диэлектрика, где дивергенция отрицательная, образуется избыток положительных связанных зарядов, к ним линии вектора поляризации сходятся. Эта зависимость показана на рисунках.

Связанные заряды, как и сторонние заряды, выступают источниками электрического поля. Поэтому для диэлектрика в формуле (1.8.8), выражающей теорему Гаусса в дифференциальной форме, необходимо учитывать все источники поля ( ) где - плотность сторонних зарядов, а - плотность связанных зарядов, - усредненное макроскопическое электрическое поле в диэлектрике. Связанные заряды, как и сторонние заряды, выступают источниками электрического поля. Поэтому для диэлектрика в формуле (1.8.8), выражающей теорему Гаусса в дифференциальной форме, необходимо учитывать все источники поля ( ) где - плотность сторонних зарядов, а - плотность связанных зарядов, - усредненное макроскопическое электрическое поле в диэлектрике.

Найдем условия, при которых объемная плотность связанных зарядов в диэлектрике отлична от нуля. Для этого подставим в ( ) формулу (1.14.3) для вектора поляризации, в результате получим Раскроем действие оператора градиента на выражение в круглых скобках. В неоднородном материале диэлектрическая восприимчивость в общем случае является функцией от координаты точки, поэтому с учетом ( ), находим Найдем условия, при которых объемная плотность связанных зарядов в диэлектрике отлична от нуля. Для этого подставим в ( ) формулу (1.14.3) для вектора поляризации, в результате получим Раскроем действие оператора градиента на выражение в круглых скобках. В неоднородном материале диэлектрическая восприимчивость в общем случае является функцией от координаты точки, поэтому с учетом ( ), находим

Откуда ( ) Следовательно, объемная плотность связанных зарядов в диэлектрике отлична от нуля, когда: 1) диэлектрик неоднороден ( ) 2) плотность сторонних зарядов отлична от нуля ( ) Если диэлектрик изотропный и однородный, то. Если в нем отсутствуют сторонние заряды, то. При соблюдении этих 2-х условий объемные связанные заряды в диэлектрике отсутствуют и при помещении его в электрическое поле в нем будут возникать только поверхностные связанные заряды с плотностью. Откуда ( ) Следовательно, объемная плотность связанных зарядов в диэлектрике отлична от нуля, когда: 1) диэлектрик неоднороден ( ) 2) плотность сторонних зарядов отлична от нуля ( ) Если диэлектрик изотропный и однородный, то. Если в нем отсутствуют сторонние заряды, то. При соблюдении этих 2-х условий объемные связанные заряды в диэлектрике отсутствуют и при помещении его в электрическое поле в нем будут возникать только поверхностные связанные заряды с плотностью.

1.15. Уравнения Пуассона и Лапласа Получим уравнение, из решения которого можно определить электрический потенциал в диэлектрике. Для этого подставим в формулу ( ) выражение (1.10.1), связывающее напряженность электрического поля с электрическим потенциалом где - дифференциальный оператор, называемый оператором Лапласа (лапласианом) Уравнения Пуассона и Лапласа Получим уравнение, из решения которого можно определить электрический потенциал в диэлектрике. Для этого подставим в формулу ( ) выражение (1.10.1), связывающее напряженность электрического поля с электрическим потенциалом где - дифференциальный оператор, называемый оператором Лапласа (лапласианом).

В результате получаем уравнение Пуассона (1.15.1) Из его решения находится электростатический потенциал в любой точке диэлектрика, если известно распределение сторонних и связанных зарядов. В тех участках поля, где электрических зарядов нет ( ), уравнение Пуассона принимает особенно простой вид (1.15.2) Это уравнение называется уравнением Лапласа – оно является частным случаем уравнения Пуассона. В результате получаем уравнение Пуассона (1.15.1) Из его решения находится электростатический потенциал в любой точке диэлектрика, если известно распределение сторонних и связанных зарядов. В тех участках поля, где электрических зарядов нет ( ), уравнение Пуассона принимает особенно простой вид (1.15.2) Это уравнение называется уравнением Лапласа – оно является частным случаем уравнения Пуассона.

1.16. Вектор электрического смещения Нахождение напряженности электрического поля из теоремы Гаусса ( ) неудобно, так как входящая в него объемная плотность связанных зарядов, согласно ( ) сама зависит от. Расчет поля можно упростить, если ввести вспомогательный вектор, источником которого являются только сторонние заряды с плотностью. Для этого подставим в формулу ( ) плотность связанных зарядов из ( ) или (1.16.1) Нахождение напряженности электрического поля из теоремы Гаусса ( ) неудобно, так как входящая в него объемная плотность связанных зарядов, согласно ( ) сама зависит от. Расчет поля можно упростить, если ввести вспомогательный вектор, источником которого являются только сторонние заряды с плотностью. Для этого подставим в формулу ( ) плотность связанных зарядов из ( ) или (1.16.1)

Отсюда следует, что искомым вектором является вектор (1.16.2) который называется электрическим смещением или электрической индукцией. Подставим в (1.16.2) вектор поляризации из (1.14.3) Величина (1.16.3) называется диэлектрической проницаемостью среды. Вектор электрического смещения теперь можем записать в виде (1.16.4) Отсюда следует, что искомым вектором является вектор (1.16.2) который называется электрическим смещением или электрической индукцией. Подставим в (1.16.2) вектор поляризации из (1.14.3) Величина (1.16.3) называется диэлектрической проницаемостью среды. Вектор электрического смещения теперь можем записать в виде (1.16.4)

Из формулы (1.16.4) следует, что вектора и параллельны друг другу. Однако, это справедливо лишь для изотропных диэлектриков. В анизотропных диэлектриках направления векторов и в общем случае не совпадают. Из формулы (1.16.4) следует, что вектора и параллельны друг другу. Однако, это справедливо лишь для изотропных диэлектриков. В анизотропных диэлектриках направления векторов и в общем случае не совпадают.

С учетом (1.16.2) и (1.16.4) формулу (1.16.1) можно переписать в виде (1.16.5) Проинтегрируем это уравнение по некоторому объему V Применим к левому интегралу теорему Остроградского- Гаусса где - поток вектора смещения через замкнутую поверхность S, охватывающую объем V. С учетом (1.16.2) и (1.16.4) формулу (1.16.1) можно переписать в виде (1.16.5) Проинтегрируем это уравнение по некоторому объему V Применим к левому интегралу теорему Остроградского- Гаусса где - поток вектора смещения через замкнутую поверхность S, охватывающую объем V.

В результате получили (1.16.6) Эта формула выражает собой теорему Гаусса для электрического смещения: поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность равен сумме сторонних зарядов внутри этой поверхности. Единицей измерения электрического смещения является, а единицей измерения его потока Из (1.16.6) следует, что заряд величиной 1 Кл создает через охватывающую его поверхность поток смещения, равный 1 Кл. В результате получили (1.16.6) Эта формула выражает собой теорему Гаусса для электрического смещения: поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность равен сумме сторонних зарядов внутри этой поверхности. Единицей измерения электрического смещения является, а единицей измерения его потока Из (1.16.6) следует, что заряд величиной 1 Кл создает через охватывающую его поверхность поток смещения, равный 1 Кл.

Поле вектора смещения изображают с помощью силовых линий, аналогично силовым линиям напряженности электрического поля. Важное отличие между этими двумя векторами состоит в том, что линии вектора смещения могут начинаться и заканчиваться только на сторонних зарядах. Через связанные заряды линии вектора смещения идут не прерываясь. В тоже время, силовые линии напряженности электрического поля могут начинаться или заканчиваться как на сторонних, так и на связанных зарядах. Поле вектора смещения изображают с помощью силовых линий, аналогично силовым линиям напряженности электрического поля. Важное отличие между этими двумя векторами состоит в том, что линии вектора смещения могут начинаться и заканчиваться только на сторонних зарядах. Через связанные заряды линии вектора смещения идут не прерываясь. В тоже время, силовые линии напряженности электрического поля могут начинаться или заканчиваться как на сторонних, так и на связанных зарядах.

1.17. Пример вычисления поля в диэлектриках: поле внутри плоской пластины Пример вычисления поля в диэлектриках: поле внутри плоской пластины Пусть имеются две бесконечные параллельные, разноименно заряженные плоскости с поверхностными плотностями и. Эти поверхностные заряды являются несвободными сторонними зарядами, нанесенными извне на две поверхности. В вакууме электрическое поле между плоскостями имело бы напряженность с величиной и смещение с величиной. Пусть имеются две бесконечные параллельные, разноименно заряженные плоскости с поверхностными плотностями и. Эти поверхностные заряды являются несвободными сторонними зарядами, нанесенными извне на две поверхности. В вакууме электрическое поле между плоскостями имело бы напряженность с величиной и смещение с величиной.

Внесем между плоскостями пластину из однородного изотропного диэлектрика. Под действием поля диэлектрик поляризуется и на его поверхностях появляются связанные заряды с плотностями. Эти заряды создают внутри пластины однородное поле с напряженностью Поля и направлены навстречу друг другу, поэтому суммарное поле внутри диэлектрика равно (1.17.1) Внесем между плоскостями пластину из однородного изотропного диэлектрика. Под действием поля диэлектрик поляризуется и на его поверхностях появляются связанные заряды с плотностями. Эти заряды создают внутри пластины однородное поле с напряженностью Поля и направлены навстречу друг другу, поэтому суммарное поле внутри диэлектрика равно (1.17.1)

В пространстве между диэлектриком и заряженными плоскостями поле не меняется и остается равным. Поляризация диэлектрика пропорциональна напряженности электрического поля в данной точке пространства, поэтому согласно (1.14.8) Подставляя это выражение в (1.17.1), получаем откуда В пространстве между диэлектриком и заряженными плоскостями поле не меняется и остается равным. Поляризация диэлектрика пропорциональна напряженности электрического поля в данной точке пространства, поэтому согласно (1.14.8) Подставляя это выражение в (1.17.1), получаем откуда

Таким образом (1.17.2) Следовательно, поле внутри диэлектрика ослабляется в число раз по сравнению с полем в вакууме. Это связано с поляризацией диэлектрика. Умножим (1.17.2) на, получим электрическое смещение внутри пластины Значит, электрическое смещение внутри пластины такое же как и вне пластины, то есть оно непрерывно на границе раздела вакуум/диэлектрик. Таким образом (1.17.2) Следовательно, поле внутри диэлектрика ослабляется в число раз по сравнению с полем в вакууме. Это связано с поляризацией диэлектрика. Умножим (1.17.2) на, получим электрическое смещение внутри пластины Значит, электрическое смещение внутри пластины такое же как и вне пластины, то есть оно непрерывно на границе раздела вакуум/диэлектрик.

Выразим плотность связанных зарядов в диэлектрике через плотность сторонних зарядов на плоскостях. Для этого используем формулу (1.17.2) и прежние соотношения откуда Следовательно (1.17.3) Выразим плотность связанных зарядов в диэлектрике через плотность сторонних зарядов на плоскостях. Для этого используем формулу (1.17.2) и прежние соотношения откуда Следовательно (1.17.3)

1.18. Ротор вектора напряженности электрического поля Ранее было показано (1.11.2), что циркуляция вектора напряженности электрического поля по любому замкнутому контуру L равна нулю (1.18.1) Существует теорема Стокса, согласно которой интеграл по замкнутому контуру L равен интегралу по поверхности S, охватываемой этим контуром (1.18.2) Ранее было показано (1.11.2), что циркуляция вектора напряженности электрического поля по любому замкнутому контуру L равна нулю (1.18.1) Существует теорема Стокса, согласно которой интеграл по замкнутому контуру L равен интегралу по поверхности S, охватываемой этим контуром (1.18.2)

Вектор (1.18.3) называется ротором вектора. Поскольку равенство нулю циркуляции выполняется для любого замкнутого контура L, то из (1.18.1) и (1.18.2) следует Поверхность S, опирающаяся на контур тоже может быть произвольной. Поэтому интеграл будет равен нулю, лишь если равна нулю подинтегральная функция (1.18.4) Вектор (1.18.3) называется ротором вектора. Поскольку равенство нулю циркуляции выполняется для любого замкнутого контура L, то из (1.18.1) и (1.18.2) следует Поверхность S, опирающаяся на контур тоже может быть произвольной. Поэтому интеграл будет равен нулю, лишь если равна нулю подинтегральная функция (1.18.4)

Запишем последнее уравнение (1.18.4) вместе с прежним уравнением (1.16.5) (1.18.5) Эти два уравнения являются основными уравнениями электростатики. Им должно удовлетворять электростатическое поле в любом диэлектрике, в том числе и неоднородном по составу. Запишем последнее уравнение (1.18.4) вместе с прежним уравнением (1.16.5) (1.18.5) Эти два уравнения являются основными уравнениями электростатики. Им должно удовлетворять электростатическое поле в любом диэлектрике, в том числе и неоднородном по составу.