Колебания и волны. Геометрическая и волновая оптика Кузнецов Сергей Иванович доцент кафедры ОФ ЕНМФ ТПУ пятница, 6 декабря 2013 г.

Раздел V Колебания и волны

Тема 3. ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ СИЛ НА КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ 3.1 Свободные затухающие механические колебания 3.2 Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания 3.3 Вынужденные механические колебания 3.4 Автоколебания Сегодня: пятница, 6 декабря 2013 г.

3.1 Свободные затухающие механические колебания Все реальные колебания являются затухающими. Энергия механических колебаний постепенно расходуется на работу против сил трения и амплитуда колебаний уменьшается. Сила трения (или сопротивления) где r – коэффициент сопротивления, – скорость движения

Второй закон Ньютона для затухающих прямолинейных колебаний вдоль оси x где kx – возвращающая сила, – сила трения. Введем обозначения ; (3.1.1) Решение уравнения (3.1.1) имеет вид (при) )

(3.1.2) Найдем частоту колебаний ω. ;; условный период Решение уравнения (3.1.1) имеет вид

3.2 Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания где β – коэффициент затухания Рисунок 1

Логарифмическим декрементом затухания называется натуральный логарифм отношения амплитуд, следующих друг за другом через период Т. ; откуда Следовательно, коэффициент затухания β – есть физическая величина, обратная времени, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз, τ – время релаксации.

Когда сопротивление становится равным критическому ато круговая частота обращается в нуль ( ), ( ), колебания прекращаются. Такой процесс называется апериодическим: Рисунок 2

Отличия в следующем. При колебаниях, тело, возвращающееся в положении равновесия, имеет запас кинетической энергии. В случае апериодического движения энергия тела при возвращении в положение равновесия оказывается израсходованной на преодоление сил сопротивления трения.

3.3 Вынужденные механические колебания Рассмотрим систему, на которую кроме упругой силы (– kx) и сил сопротивления (– rυ) действует добавочная периодическая сила F – вынуждающая сила: – основное уравнение колебательного процесса, при вынужденных колебаниях (3.3.1)

Уравнение установившихся вынужденных колебаний (3.3.2) Наша задача найти амплитуду А и разность фаз φ между смещением вынужденных колебаний и вынуждающей силой. – амплитуда ускорения; – амплитуда скорости; – амплитуда смещения; – амплитуда вынуждающей силы Введем обозначения:

Вектор амплитуды силы найдем по правилу сложения векторов: Из рисунка 3 видно, что Рисунок 3

(3.3.4) Проанализируем выражение (3.3.4). 1)(частота вынуждающей силы равна нулю) – статическая амплитуда, колебания не совершаются. 2) (затухания нет). С увеличением ω (но при ), амплитуда растет и при, амплитуда резко возрастает (). Это явление называется – резонанс. При дальнейшем увеличении () амплитуда опять уменьшается. (Рисунок 4 ) 3) – резонансная частота

- явление резонанса – резонансная частота Рисунок 4

– резонансная частота. Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к называется резонансом. Для консервативной системы, т.е. для диссипативной несколько меньше собственной круговой частоты. С увеличением коэффициента затухания β явление резонанса проявляется все слабее и исчезает при

3.4 Автоколебания Наблюдая колебания листьев деревьев, дорожных знаков над проезжей частью улиц, полотнищ на ветру и др., мы понимаем, что во всех перечисленных случаях незатухающие колебания происходят за счет энергии постоянно дующего ветра. Классическим примером автоколебательной системы служат механические часы с маятником и гирями.

Принцип работы всех автоколебательных систем можно понять, обратившись к схеме, изображенной на рисунке 5 Рисунок 5 Периодическим поступлением энергии в колебательную систему от источника энергии по каналу АВ управляет сама колебательная система посредством обратной связи.

В конструкции часового механизма (рисунок 6) присутствует специальное устройство – анкер, выполняющий роль ключа. Этот анкер, представляющий собой коромысло, приводится в колебание самим маятником часов. Рисунок 6 Важно отметить, что любая автоколебательная система нелинейна.

26