§ 3. Ранг матрицы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы A называется ее базисным минором, если он отличен от нуля, а все миноры матрицы A более высокого порядка k+1, k+2, …, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы A называется порядок ее базисного минора. Обозначают: r(A) или rang(A).

Методы нахождения ранга матрицы 1) Метод окаймляющих миноров. Пусть M s – минор порядка s. Окаймляющим минором для минора M s называется любой минор порядка s+1, содержащий минор M s. ТЕОРЕМА 1. Если в матрице A есть минор k-го порядка отличный от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то ранг матрицы A равен k. Найти ранг матрицы можно по следующей схеме (Метод окаймляющих миноров): 1) Находим в матрице минор M k порядка k, отличный от нуля (где k 1). 2) Ищем его окаймляющий минор M k+1 отличный от нуля. Если такого минора не существует, то ранг матрицы равен k. Если окаймляющий минор M k+1 0, то рассматриваем окаймляющие миноры для M k+1 и т.д.

2) Метод элементарных преобразований. Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования следующего вида: 1) умножение строки (столбца) на число 0; 2) прибавление к i-й строке (столбцу) k-й строки (столбца), умноженной на число 0; 3) перестановка i-й и k-й строки (столбца); 4) вычеркивание одной из двух пропорциональных или равных строк (столбцов); 5) вычеркивание нулевых строк (столбцов). Матрица B называется эквивалентной матрице A, если она может быть получена из A элементарными преобразованиями. Обозначают: A ~ B.

ТЕОРЕМА 2. Эквивалентные матрицы имеют равные ранги. ТЕОРЕМА 3. Любая матрица A эквивалентна некоторой треугольной или трапециевидной матрице, не содержащей нулевых и пропорциональных строк. Причем эта треугольная или трапециевидная матрица может быть получена из A элементарными преобразованиями только строк. Найти ранг матрицы можно по следующей схеме (метод элементарных преобразований): 1) с помощью элементарных преобразований строк получаем для матрицы A эквивалентную треугольную или трапециевидную матрицу B; 2) находим в матрице B базисный минор и определяем ранг матрицы B и матрицы A.

§ 4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия Уравнение называется линейным, если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных, т.е. если оно имеет вид a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b, где a i,b – числа. a i называются коэффициентами уравнения, b называется свободным членом. Если b = 0, то уравнение называется однородным. В противном случае уравнение называется неоднородным. Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными, т.е. систему вида

Обозначим через A и A* следующие матрицы: Матрицу A называют основной матрицей системы (1), матрицу A* – расширенной матрицей системы (1). Пусть X – матрица-столбец неизвестных, B – матрица-столбец свободных членов, т.е. Тогда систему (1) можно записать в виде матричного уравнения AX=B. Его называют матричной формой системы (1).

Упорядоченный набор чисел c 1,c 2,…,c n называется решением системы (1), если он обращает в верное равенство каждое уравнение системы. Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то ее называют совместной. Система линейных уравнений, не имеющая решений, называется несовместной. Система, имеющая единственное решение, называется определенной. Система, имеющая множество решений, называется неопределенной. ТЕОРЕМА 1 (Кронекера – Капелли). Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, т.е. r(A) = r(A*). ТЕОРЕМА 2 (критерий единственности решения). Система линейных уравнений (1) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы и равен числу переменных, т.е. r(A) = r(A*) = n.

2. Методы решения систем линейных уравнений Матричный метод. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Обратной к матрице A называется матрица, обозначаемая A -1, такая, что A·A -1 =A -1 · A=E. СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ 1) Если матрица A имеет обратную, то A и A -1 – квадратные одного порядка. 2) Если обратная матрица существует, то она единственная. 3) Если матрица A имеет обратную, то определитель матрицы A отличен от нуля. Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной.

ТЕОРЕМА 3. Пусть A – квадратная матрица. Матрица A имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель |A| отличен от нуля. Причем обратная матрица A -1 может быть найдена по формуле: где S – матрица из алгебраических дополнений элементов матрицы A, т.е. Матрица S T называется союзной (или присоединенной, или взаимной) для матрицы A. Нахождение решения по формуле X=A -1 · B называют матричным методом решения системы.

Метод Крамера ТЕОРЕМА 4 (Крамера). Если в системе линейных уравнений число уравнений m и число неизвестных n совпадает и |A| 0, то система совместна и имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам где D=|A|, а D i – определитель, получаемый из определителя D заменой его i-го столбца на столбец свободных членов. Формулы (4) называются формулами Крамера.