Расстояние между скрещивающимися прямыми Суфиярова М.А., учитель математики МОУ СОШ 2 ЗАТО Светлый Саратовской области

Определение Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат на одной плоскости

Признак Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся

Определение общего перпендикуляра Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок, имеющий концы на данных прямых и перпендикулярный к ним

Способы вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми -на основании определения общего перпендикуляра скрещивающихся прямых -как расстояние от точки на одной из двух скрещивающихся прямых до параллельной ей плоскости, в которой лежит вторая скрещивающаяся прямая -как расстояние между параллельными плоскостями, проходящими через эти скрещивающиеся прямыми -метод ортогонального проектирования

Алгоритм применения ортогонального проектирования: Через одну из двух скрещивающихся прямых построить плоскость, перпендикулярную этой прямой. Спроектировать обе прямые ортогонально на эту плоскость. Перпендикулярная прямая спроектируется в точку, вторая прямая спроектируется в некоторую прямую. Из точки, проекции первой прямой, опустить перпендикуляр на проекцию второй прямой, длина этого перпендикуляра и будет расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Дано: АВСДА 1 Б 1 С 1 Д 1 –куб К-середина ребра В 1 С 1 а- длина ребра Найти: Расстояние между прямыми 1)АА 1 и ДС - АД 2)ВВ 1 и ДС 1 - ВС 3)ДС и А 1 К - СС 1 4)В 1 Д и АС - Д 1 Н 5)АК и ВС - ОС А В С Д А1А1 В1В1 С1С1 Д1Д1 О К Н О1О1

В прямоугольном параллелепипеде АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 : АА 1 =1, АВ=2, ВС=3. Найти расстояние между диагональю ВД грани АВСД и и диагональю АД, грани АА 1 Д 1 Д. Построение: 1)ДВ (АА 1 F 1 ) 2)В М, А А, Д 1 М 1. 3)АМ 1 проекция прямой АД 1 на плоскость АА 1 F 1 F 4)Строим МН АМ 1 5)Длина МН и есть расстояние между скрещивающимися прямыми. А1А1 А М Н М1М1 В В1В1 ДС С1 Д1Д1 F F1F1

Вычисления: АВД, ВД= 9+4 = 13 АМ = 2*3/ 13= 6/ 13 АМ 1 М: АМ 1 = 1+36/13= =7/ 13 МН= 1*6* 13/ 13*7= 6/7 Н М1М1 А1А1 А М

Два противоположных ребра правильного тетраэдра служат диаметрами оснований цилиндр. Объем цилиндра равен 64 2П, найти ребро тетраэдра. Построение: АС (SMB), т.к АС МВ и АС MS. А М, SB SB, МН SB, МН- расстояние между скрещивающимися прямыми или высота цилиндра S Н В С М О А

Вычисления: ПR 2 *H=Vцил. ПR 2 *Н=64 2П R 2 Н=64 2 (1) R=МС. Пусть АС= а, R= а/2, найдем Н через а. ОН= а/2 3, SM= а 2 -a 2 /4= 3a 2 /4= =a 3/2, MB= a 2 -a 2 /4=a 3/2, SO= 3a 2 /4-a 2 /12= 9a2-a2/12=a 8/12= =a 2/3: метод площадей: 1/2MB*SO=1/2MH*SB: MH= MB*SO/SB: MH= a 3*a 2/a 3*a=a 2\2. R 2 H=64 2, a 2 /4*a 2/2=64 2, a 3 =8 3, a=8. Ответ: 8

РАВСД- правильная пирамида, ОР=2АВ, а=17. Найти расстояние между прямыми АВ и РС. Построение: АВ (МРN), (MРN)- плоскость проекции, спроектируется в точку N, Р- на месте. РN- проекция РС на (МРN), МН РN, МН есть расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и РС. Р С В О Н N M A Д

Вычисления: МН есть высота в PMN, Найдем методом площадей. 1/2MN*PO=1/2PN*MH, MH=MN*PO/PN, MN=17, PO=34, MPO: OM=17/2, PO=34, PM=PN= 289/ *17 2 =17 ¼+4= =17/2 17 MH=17*34*2/17 17=68/ 17= =17-2*2* 17/17=4 17. Ответ: 4 17