Максимально гладкая «подгонка» кривых доходностей и кривых форвардных ставок КENNETH J. ADAМS AND DONALD R. VAN DEVENTER

Введение Существует множество теорий, посвященных срочной структуре кривых доходностей, а именно «подгонке» рыночных данных к некой теоретической функции. Это и работы МакКалоха, который для этих целей, использовал полиномиальные сплайны, и работы Вашичеха и Фонга, посвященные, использованию экспоненциальных сплайнов. Данная статья предлагает новый подход к «подгонке» кривых доходностей, который может сформировать устойчивую базу для применения вышеназванных методик.

В статье сравнивается описанный метод «максимального разглаживания» кривых доходностей и методы с использованием кубических сплайнов для подгонки кривых цен и доходностей облигаций, линейный и экспоненциальный методы.

Обзор предыдущих работ В 1975 МакКалох опубликовал работу, посвященную исследованию кривых доходностей ценных бумаг Казначейства США. Он использовал полиномиальную функцию для подгонки кривой доходностей, и данный метод был неплох в теоретической проекции, но не подходил для реальных данных.

Вашичек и Фонг в своей работе 1982 года, предложили метод, который достаточно неплохо подгонял кривые спот ставок, и полученные функции были довольно гладкими. Также они отмечали экспоненциальную природу функции дисконтирования, и использовали экспоненциальную форму для подгонки кривой цен облигаций, и применяли для этих целей кубическую функцию с непрерывными производными.

Шеа в своей работе использовал полиномиальные сплайны, отмечая, что форвардные ставки довольно нестабильны, и часто смещаются к очень большим или даже отрицательным значениям. Таким образом, несмотря на все свои преимущества, метод подгонки кривой с использованием сплайнов имеет свои недостатки.

Предпосылки новой модели Существует непрерывная зависимость между ценами бескупонных облигаций и форвардными процентными ставками. Предполагается, что текущий период времени t=0. Цена (котировка) бескупонной облигации со сроком погашения в момент времени t обозначается P(t), где P(0)=1. Доходность к погашению этой облигации обозначается y(t), а мгновенная форвардная ставка f(t).

Мы имеем следующие соотношения:

Замечание В работах МакКалоха, Вашичека и Фонга для того, чтобы «выровнять» функции они разбивали кривую цены облигации на маленькие сегменты и подгоняли для каждого сегмента полиномиальную или экспоненциальную функцию таим образом, что на «крайних» точках каждого сегмента существовали непрерывные первые и вторые производные. Данная методика приводила к тому, что они были вынуждены не рассматривать точки, очень сильно отличающиеся (варьирующиеся) от других, хотя форвардные ставки, полученных из гладких кривых доходностей, могут быть сильно волатильными.

Новый подход Мы можем взглянуть на эту проблему с другой стороны: лучше подогнать наблюдаемые значения кривой доходности таким образом к некой теоретической функции от времени, чтобы получить максимально гладкую кривую форвардных ставок.

На основе ряда математических свойств, определим наиболее гладкую кривую форвардных ставок на интервале (0,Т), как функцию, которая минимизирует следующий функционал:

Также мы должны учитывать ряд ограничений для того, чтобы наша теоретическая функция соответствовала реальным данным. То есть для m облигаций с ценами со сроками погашения

Выполняется:

Таким образом, задача сводится к нахождению условного экстремума и построению Лагранжиана:

Решение нашей задачи сведется к следующему виду:

Таким образом, мы имеем n (n параметров функции форвардной ставки) уравнений с n+m неизвестными.

Теорема Олдрича Вашичека Срочная структура кривой f(t), где 0

Коэффициенты удовлетворяю уравнениям

Хотя получается, что теорема определяет 3m+1 уравнений для 3m+3 неизвестных параметров, решение все равно единственно. Это следует, из того, что Z имеет вид:

Данная функция является квадратичной (параметр второй степени). Решение этой задачи, можно свести к следующему виду:

Из этих соотношений и получаем недостающие уравнения. Если предположить, что то нам не нужны будут эти дополнительные уравнения.

Практические результаты Было проведено сравнение рассмотренного подхода с альтернативными на примере японского рынка свопов, представленных Фуджи Банком, и американского рынка свопов, представленных банком Митсубиси. Процентные ставки свопов были проанализированы, как если бы своп представлял собой котировку купонной облигации.

Долларовая кривая доходностей

Кривая доходностей в йенах

Сравниваемые альтернативные подходы: 1) Кубический сплайн для «выравнивания» кривых цен облигаций (метод МакКалоха); 2) Кубический сплайн для «подгонки» кривой доходностей облигаций; 3) Экспонециальное «разгалживание» для кривых цен облигаций; 4) Линейная интерполяция для кривой доходностей облигаций; Отметим, что краткосрочные процентные ставки должны стремиться к однодневным процентным ставкам, если их срок погашения стремится к нулю.

В статье во избежание вычислительных проблем был рассмотрен дискретный случай процентных ставок: Чтобы найти коэффициенты «разглаживания» в дискретной форме были взяты суммы квадратов вторых разностей полугодовых форвардных ставок, рассчитанных для каждой сравниваемой техники.

Результаты: Метод с использованием экспоненциального сплайна показал наименее «гладкие» кривые форвардных доходностей для рынка японских свопов. Также была выявлена очень большая чувствительность результатов к выбранному временного периоду. Метод «максимального разглаживания» и метод с использованием кубического сплайна для подгонки кривой цен облигации показал более «гладкие результаты», чем метод с использованием кубического сплайна для выравнивания кривых доходностей облигаций. Ну а линейная интерполяция показала наихудшие результаты.

Прогнозная сила метода: Были опущены некоторые данные и рассчитаны их прогнозные значения. Сравнивались результаты. В итоге на японском рынке свопов все техники оказались более эффективными предсказателями, чем на американском, и метод максимального разглаживания, показал довольно неплохие результаты.

Выводы: Успех в выравнивании кривой доходностей зависит от «гладкости» кривой форвардной доходности. Также «выровненные» кривые форвардной доходности показывают лучшие прогнозные результаты, чем волатильные. Для того, чтобы найти наиболее «гладкую» функция минимизировался интеграл квадрата второй производной. Наиболее «гладкая» кривая является полиномом четвертой степени. Таким образом, рассмотренный метод показал наилучшие результаты, исходя из критерия «гладкости» и точности.