Тема 2. «Определители. Способы их вычисления.» Основные понятия: Понятие определителяПонятие Вычисление определителей 1-го, 2-го и 3-го порядков1-го2-го3-го Миноры и алгебраические дополненияМинорыалгебраические дополнения Теорема Лапласа (вычисление определителя n-го порядка) n-го Разложение определителя по строке (столбцу)строкестолбцу Свойства определителейСвойства завершить

Определение: Любой квадратной матрице n-го порядка ставится в соответствие по определенному закону некоторое действительное число, называемое определителем или детерминантом n-го порядка. Обозначение: назад

Вычисление определителя 1-го порядка: Пример 1. назад

Вычисление определителя 2-го порядка: Пример 2. Вычислить определители следующих матриц: 1) 2) 3) Ответ назад

Ответы (Пример 2): 1) 2) 3) назад

Вычисление определителя 3-го порядка (правило треугольника или правило Саррюса): ПримерПример 3. назад

Пример 3. Вычислить определители следующих матриц: 1) 2) Ответ назад

Ответ (Пример 3): 1) 2) назад

Рассмотрим определитель n-го порядка. Выделим в нем какой-либо элемент и вычеркнем i-ю строку и j-ый столбец. Полученный определитель (n-1)-го порядка называется минором ПримерПример 4. назад

Пример 4. Вычислить миноры для всех элементов матриц: 1) 2) Ответ назад

Ответ (Пример 4): 1) 2) назад

Алгебраическим дополнением элемента называется число Пример 5. Найти алгебраические дополнения для всех элементов матриц 1) 2) Ответ назад

Ответ (Пример 5): 1) 2) назад

Вычисление определителя n-го порядка Теорема Лапласа. Выберем в определителе n-го порядка произвольно k строк (или k столбцов), Тогда значение определителя n-го порядка есть сумма произведений всех миноров k-го порядка, расположенных в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения. ПримерПример 6. назад

Пример 6. Вычислить определитель матрицы с помощью теоремы Лапласа Решение: 1) Выберем произвольное количество строк или столбцов, например, 1-ю и 2-ю строки. 2) Воспользуемся теоремой Лапласа: далее

назад

Теорема 1. Каков бы ни был номер строки i (i=1,2,…,n), для определителя n-го порядка справедлива формула или называемая разложением этого определителя по i-й строке. Пример 7. Вычислить определитель матрицы Ответ назад

Решение (Пример 7): 1) Выберем произвольную строку, например, 2-ю строку. 2) Воспользуемся теоремой разложения по строке (i = 2): назад

Теорема 2. Каков бы ни был номер столбца k (k=1,2,…,n), для определителя n-го порядка справедлива формула или называемая разложением этого определителя по k-му столбцу. Пример 8. Вычислить определитель матрицы (самостоятельно) назад

Свойства определителей: 1)Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами. Пример 1)Пример 2)При перестановке двух столбцов (строк) определитель меняет знак. Пример 2)Пример 3)Множитель, общий для элементов некоторого столбца (строки), можно выносить за знак определителя. Пример 3)Пример 4)Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен нулю. Пример 4)Пример 5)Определитель равен нулю, если все элементы некоторого столбца (строки) равны нулю. Пример 5)Пример 6)Определитель с двумя пропорциональными столбцами (строками) равен нулю. Пример 6)Пример Частные случаи назад

Пример 1): Проверить, если назад

Пример 2): Проверить, если назад

Пример 3): Проверить назад

Пример 4): Проверить назад

Пример 5): Проверить назад

Пример 6): Проверить назад

Частный случай 1: Пример далее

Пример (Частный случай 1): Проверить назад

Частный случай 2: Пример назад

Пример (Частный случай 2): Проверить назад

Спасибо за внимание! Не забывайте готовиться к лекциям и семинарам! (Тема следующей лекции «Обратная матрица. Ранг матрицы») Удачи!