Общественные блага - 2 Модель с добровольным финансированием общественного блага Схема модели Определение и схема поиска равновесия Аналитический пример нахождения равновесия Парето-оптимальный объем общественного блага: уравнение Самуэльсона, его смысл и варианты Графическая иллюстрация

Модель с добровольным финансированием общественного блага: предпосылки N потребителей, i = 1…N каждый потребитель i распределяет свой доход I i между x i (потреблением частных благ), измеряемым в деньгах, и p G g i – расходами на финансирование общественного блага, которое стоит p G за единицу. уравнение бюджетной линии: x i + p G g i = I i предпочтения каждого потребителя представимы функцией полезности U i (x i, G) = x i + v i (G), где G = g 1 + … + g N Решения о пожертвованиях принимаются всеми потребителями одновременно: то есть, каждый потребитель, решая, сколько ему пожертвовать на финансирование общественного блага, принимает размер пожертвований других как заданный

Модель с добровольным финансированием общественного блага: идея равновесия Равновесие в модели с добровольным финансированием ОБ представляет собой равновесие по Нэшу в одновременной игре, где: Игроки = потребители (i = 1…N) Стратегии = количество ОБ, которое оплачивают потребители (g 1, g 2 …g N ) Платежи = значения функций полезности потребителей (U 1 (x 1, G)…U N (x N,G)) Определение: Равновесием по Нэшу называется такая комбинация стратегий, при котором ни одному игроку, при заданных стратегиях остальных, не выгодно менять свою стратегию. И как его найти?

Добровольное финансирование общественного блага: поиск равновесия Рассмотрим задачу потребителя i. Ради удобства, обозначим количество ОБ, финансируемое всеми остальными потребителями, кроме i-того, как g -i : Удобно перейти к задаче безусловной максимизации Условия первого порядка. ВАЖНО помнить об угловых решениях! Это – т.н. функция реакции, или функция наилучшего ответа (best response), потребителя i

Добровольное финансирование общественного блага: поиск равновесия - 2 Итак, решив задачу каждого из N потребителей, мы получили систему из N функций реакции. Каждая из этих функций показывает, какой размер пожертвования на финансирование ОБ (при фиксированных пожертвованиях остальных) максимизирует его полезность. Решив систему, мы найдем равновесные объемы пожертвований каждого потребителя, что подсказывает нам еще одну трактовку равновесия по Нэшу: Определение (эквивалентное): Равновесием по Нэшу называется такая комбинация стратегий, при котором стратегия каждого игрока является наилучшим ответом на стратегии остальных.

Равновесие в модели с добровольным финансированием ОБ: аналитический пример Давайте рассмотрим тот же пример, графический анализ которого мы представили на прошлой лекции: - два потребителя – A и B - максимальная готовность платить за общественное благо (обратные функции спроса): p A (G) = 10 – 2G p B (G) = 5 – G/2 Чтобы найти равновесие с добровольным финансированием аналитически, нам нужно реконструировать их функции полезности…

Реконструкция квазилинейных функций полезности из функций спроса По предпосылкам нашей модели, функции полезности должны иметь вид U i (x i, G) = x i + v i (G), где G = g A +g B В таком случае, предельная готовность платить за ОБ (предельная частная выгода) должна быть равна предельной полезности ОБ: v A (G) = p A (G) = 10 – 2G v B (G) = p B (G) = 5 – G/2 Отсюда, проинтегрировав v A (G) и v B (G), легко найти v A (G) и v B (G), а затем и сами функции полезности: v A (G) = 10G – G 2 U A (x A,G) = x A + 10G – G 2 v B (G) = 5G – G 2 /4 U B (x B,G) = x B + 5G – G 2 /4

Поиск равновесия: Функция реакции потребителя А:Функция реакции потребителя B: Задача потребителя А: Задача потребителя B:

Равновесие при добровольном финансировании Итак, мы получили функции реакции. Теперь нас интересует, при каких условиях они будут безбилетничать? Случай 1: За ОБ не платит никто. Подставив g A = g B =0 в функции реакции, получим, что такое возможно при p G 10 Случай 2: За ОБ платит только потребитель А. При g A > 0, g B = 0 из функций реакции вытекает, что 10 > p G 3,(3) Случай 3: За ОБ платит только потребитель B. При g A = 0, g B > 0 из функций реакции вытекает, что p G < 3,(3) Какой из трех типов равновесий реализуется? Это зависит от параметра p G - или любой иной связи между объемом ОБ и его ценой, которая может диктоваться технологией, функцией предложения ОБ, и т.п.

«Рыночный спрос» на общественное благо при добровольном финансировании Теперь эта кривая уже не вызывает у нас сомнений – ведь мы аналитически вывели ее!

Парето-оптимальный объем общественного блага: уравнение Самуэльсона Общественно оптимальный объем производства ОБ определяется равенством MSB(G) = MSC(G). Расшифруем это подробнее: Или, коротко: (В нашем случае, MSC = MC)

Уравнение Самуэльсона: смысл и варианты Это условие характеризует общественно-оптимальный объем производства общественного блага. Независимо от формулировки, мы всегда сравниваем сумму предельных частных выгод от потребления общественного блага с предельными издержками его производства, покупки, и т.д…. Применительно к разным постановкам задачи, это уравнение может принимать разные формы, например:

Уравнение Самуэльсона: аналитический вывод До сих пор, рассказывая об уравнении Самуэльсона, мы опирались на графики, экономическую интуицию и аналогии. Однако, как и в случае с равновесием при добровольном финансировании ОБ, окончательную уверенность нам придаст аналитический вывод этого условия. Мы получим его, рассмотрев задачу на поиск Парето-оптимального распределения в следующей экономике: 2 потребителя: A и B 2 блага: X (частное) и G (общественное) функции полезности: u A (x A,G), u B (x B,G) – дифференцируемые до 2 порядка, возрастающие и вогнутые по обеим переменным Благо G производится по технологии c функцией издержек c(G) – выпуклая, дифференцируемая до 2 порядка первоначальная наделенность благом G = 0; первоначальная наделенность благом X: w A, w B

Задача на поиск Парето-оптимальных распределений в рассматриваемой экономике: (Последнее условие означает, что общих запасов частного блага (денег) должно хватить и на производство общественного блага, и на частное потребление) Далее, мы применим метод Лагранжа (знак «-» перед множителями, вычитаем из меньшего большее): Теперь рассмотрим систему условий первого порядка. Ввиду монотонного возрастания u A (.), u B (.) и с(.) по всем аргументам, все условия первого порядка будут выполняться как равенства, то есть, достаточно просто приравнять производные лагранжиана по x A, x B, G, λ и μ к нулю.

Перепишем эту систему в более компактных обозначениях:

Выразим λ и μ из первых двух уравнений системы, и подставим в третье: Разделив первое уравнение на MU X A, получим систему, характеризующую внутренние П.О. –распределения.