Симметрия в пространстве Монахова С.В., учитель математики высшей квалификационной категории Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Куйбышевского района «Средняя общеобразовательная школа 4»

«Симметрия является той идеей, с помощью которой человек веками пытается объяснить и создать порядок, красоту и совершенство» Герман Вейль

Определение В древности слово «симметрия» употреблялось как «гармония», «красота». Действительно, по- гречески оно означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей».

Математики о симметрии Математик любит прежде всего симметрию Максвелл Д. Красота тесно связана с симметрией Вейль Г. Симметрия … является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство Вейль Г. Для человеческого разума симметрия обладает, по - видимому, совершенно особой притягательной силой Фейнман Р.

Симметрия! Я гимн тебе пою! Тебя повсюду я в мире узнаю. Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке, Ты в елочке, что у лесной дорожки С тобою в дружбе и тюльпан, и роза, И снежный рой – творение мороза. Антонов К.

Симметрия относительно точки А А1А1А1А1 О Точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О (центр симметрии), если О – середина отрезка АА 1. Точка О считается симметричной самой себе. Точка О – центр симметрии Симметрия относительно точки называется центральной симметрией

А1А1А1А1 А О Построить отрезок А 1 В 1 симметричный отрезку АВ относительно точки О Точка О – центр симметрии В В1В1В1В1Замечание: при симметрии относительно центра изменился порядок точек (верх- низ, право-лево). Например, точка А отобразилась снизу вверх; она была правее точки В, а ее образ точка А 1 оказалась левее точки В 1.

А1А1А1А1 О Построить луч симметричный лучу относительно точки О Точка О – центр симметрии В В1В1В1В1 a1a1a1a1aАa a1a1a1a1 Начало луча

a1a1a1a1 Если центр симметрии в начале луча, то при симметрии луч отобразится на … О ab Если центр симметрии принадлежит лучу, то при симметрии … b1b1b1b1 О

А1А1А1А1 Построить угол симметричный углу относительно точки О Точка О – центр симметрии В В1В1В1В1 a1b1a1b1a1b1a1b1Аa a1a1a1a1 Вершина угла ab b b1b1b1b1 C C1 C1 C1 C1 О

a1a1a1a1 b1b1b1b1 Если центр симметрии в вершине угла, то при симметрии угол отобразится на … a b О

n Если центр симметрии принадлежит стороне угла, то при симметрии …Оm m1m1m1m1 n1 n1 n1 n1

n Если центр симметрии расположен во внутренней области угла, то при симметрии … m m1m1m1m1 n1 n1 n1 n1 О

О А В В1В1В1В1 С С1С1С1С1 А1А1А1А1 Замечание. Если центр во внешней области фигуры, то исходная и симметричная фигура не имеют общих точек.

А В С Замечание. Если центр во внутренней области фигуры, то исходная и симметричная фигура имеют общие точки (6-угольник). С1С1С1С1 В1В1В1В1 А1А1А1А1 О

В1В1В1В1 А В С Замечание. Если центр на стороне фигуры, то исходная и симметричная фигура имеют общие точки (отрезок СС 1 ). А1А1А1А1 С1С1С1С1 О

А В Замечание. Если центр в вершине фигуры, то исходная и симметричная фигура имеют общую точку (точка С). А1А1А1А1 В1В1В1В1 СО

О т. О – центр симметрии

O A C1C1 A1A1 B B1B1 C точка О – центр симметрии

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.

прямая Правильный треугольник Правильный шестиугольник Параллелограмм Отрезок Прямоугольник Любая точка прямой Какая точка является центром симметрии фигур?

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Какие буквы имеют центр симметрии? О Ф S И Х Z

Стоя перед чёрной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия приятна глазу? Что такое симметрия? Это врождённое чувство, отвечал я себе. На чём оно основано? Стоя перед чёрной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия приятна глазу? Что такое симметрия? Это врождённое чувство, отвечал я себе. На чём оно основано? Л.Н.Толстой «Отрочество»

Симметрия относительно прямой А А1А1А1А1 a Точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой (ось симметрии), если прямая проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка прямой считается симметричной самой себе.aa a Симметрия относительно прямой называется осевой симметрией

А Построить отрезок А 1 В 1 симметричный отрезку АВ относительно прямой В a А1А1А1А1 В1В1В1В1 a Прямая – ось симметрии a

Построить отрезок А 1 В 1 симметричный отрезку АВ относительно прямой В aАa А1А1А1А1 В1В1В1В1 Прямая – ось симметрии a

Построить треугольник А 1 В 1 С 1 симметричный треугольнику АВС относительно прямой a Прямая – ось симметрии aА С В А1А1А1А1 С1С1С1С1 В1В1В1В1a

Построить треугольник А 1 В 1 С 1 симметричный треугольнику АВС относительно прямой a Прямая – ось симметрии aА В a А1А1А1А1 С В1В1В1В1

Построить треугольник А 1 В 1 С 1 симметричный треугольнику АВС относительно прямой a Прямая – ось симметрии aА В a В1В1В1В1С

aА В a А1А1А1А1 В1В1В1В1 С С1С1С1С1

Прямая m – ось симметрии m

CC1C1 B B1B1 a A A1A1 Прямая а – ось симметрии

l A A1A1A1A1 B B1B1B1B1 C C1C1C1C1

Если фигура имеет ось симметрии, то говорят, что она обладает осевой симметрией. Фигура может иметь одну или несколько осей симметрии. Фигура называется симметричной относительно оси, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре. aa

Правильный треугольник Равнобедренный треугольник Отрезок Прямоугольник Сколько осей симметрии имеет каждая фигура? Равнобедренная трапеция

прямая Луч Правильный шестиугольник Параллелограмм Угол Сколько осей симметрии имеет каждая фигура?

Какие буквы имеют ось симметрии? АБ Г Ж Э ЮНШ 0 П Ф

W U D R YSV Х С М В

Симметрия в природе

Симметрия в танцевальной постановке необходима, однако для произведения должного эффекта она должна сопровождаться асимметрией

Символ вечной любви, Индии, симметрии, торжества персидской архитектуры - мавзолей Тадж-Махал

х у Симметрия на координатной плоскости Центральная симметрия

х у Осевая симметрия Симметрия на координатной плоскости

O Поворотом плоскости Поворотом плоскости вокруг точки О на угол называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М 1, что ОМ = ОМ 1 и угол МОМ 1 равен М М1М1М1М1

Угол поворота 60 0 МО М1М1М1М1

Поворот отрезка. O

О В А В1В1 А1А1 Угол поворота 120 0

Поворот отрезка.O O

O Центр поворота фигуры может быть во внутренней области фигуры и во внешней…

O При повороте многоугольника надо повернуть каждую вершину.

На какой угол можно повернуть эти фигуры, чтобы при повороте фигура отобразилась сама на себя? 1) 90, 180, ; 2) 120, 240, 360; 3) 60, 120, 180, 240., 300, 360.

М Параллельным переносом Параллельным переносом на вектор называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М ММ 1 отображается в такую точку М 1, что вектор ММ 1 равен векторуaa a М1М1

a В А С B1B1 C1C1 A1A1

a

Движения на картинах М. Эшера.

Параллельный перенос

М. Эшер «Ящерицы». Здесь можно увидеть поворот на 60(градусов). Найдите другие повороты, с другим центром. Параллельны й перенос.

Вывод. В любом растении можно найти какую- то его часть, обладающую осевой или центральной симметрией. Это могут быть листья, цветы, стебли, стволы деревьев, плоды, и более мелкие части, такие как сердцевина цветка, пестик, тычинки и другие. Осевая симметрия присуща различным видам растений и грибам, и их частям. Центральная симметрия наиболее характерна для плодов растений и некоторых цветов.

Спасибо за внимание