Во всякой теореме различают две части: Условие - это то, что дано. Например: (теорема выражающая признак параллельности двух прямых) « при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны». Заключение -Это то, что требуется доказать. Например: (теорема выражающая признак параллельности прямых) «Прямые параллельны».

Теорема, обратная данной - Называется такая теорема, в которой условие является заключением данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы.

Рассмотрим три новые теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. О накрест лежащих углах;О соответственных углах;О односторонних углах.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. Теорема о накрест лежащих углах Дано: а || b, с - секущая. Доказать: 1=2. Доказательство: Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим от луча MN угол PMN, равный углу 2, так, чтобы PMN и 2 были накрест лежащими углами при пересечении прямых MP и b секущей MN. По строению эти накрест лежащие углы равны, поэтому MP || b. Мы получили, что через точку М проходят две прямые (прямые a и MP), параллельные прямой b. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше допущение неверно и 1=2. Теорема доказана.

Замечание При доказательстве этой теоремы мы использовали способ рассуждений, который называется методом доказательства от противного. Такой способ часто используется в математике.

Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой. Следствие Действительно, пусть а ll b, с а, т. е. 1 = 90º. Прямая с пересекает прямую а, поэтому она также пересекает прямую b. При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные накрест лежащие углы: 1=2. Так как 1= 90º, т. е. с b, что и требовалось доказать.

Если две прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. Теорема о соответственных углах Дано: прямые a ll b, с – секущая. Доказать: 1= 2. Доказательство: Так как, а ll b, то накрест лежащие углы равны. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Из равенств 1=3 и 2=3 следует, что 1= 2. Теорема доказана.

Теорема об односторонних углах Дано: прямые а ll b, с – секущая. Доказать: = 180º. Доказательство: Так как а ll b, то соответственные углы 1 и 2 равны. Углы 2 и 4 смежные, поэтому = 180º. Из равенств 1 = 2 и = 180º следует, что = 180º. Теорема доказана. Если параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180 º

Замечание Если доказана некоторая теорема, то отсюда ещё не следует справедливость обратного утверждения. Более того, обратное утверждение не всегда верно. Приведём простой пример. Мы знаем, что если углы вертикальные, то они равны. Обратное утверждение : «если углы равны, то они вертикальные», конечно же, неверно.