Типовые звенья Передаточная функция

Описание линейных систем Дифференциальное уравнение наиболее общий инструмент описания системы связанных физических элементов, образующих техническое устройство или объект, способной воспринимать внешнее воздействие x(t) и характеризуемую некоторой выходной величиной y(t), известным образом зависящей от воздействия x(t). Все остальные методы описания систем прямо или косвенно вытекают из дифференциального уравнения или опираются на него.

Математическая модель Здесь x = x(t) задаваемое в текущем режиме или полностью известное на всем временном интервале входное воздействие на систему, а y = y(t) – искомая реакция системы на воздействие. Коэффициенты уравнения определяются моделируемой системой. Для однозначного решения должны быть заданы начальные условия: значения решения y(0) и его производной y(0) по времени в начальный, например нулевой, момент времени. В физической системе эти значения определяются энергией, содержащейся в этот момент времени в элементах, способных ее накапливать, например, в электрических емкостях и индуктивностях, пружинах, подвижных массивных деталях и т.п. Кроме того, должно быть задано и входное воздействие x(t). Входным воздействием может быть произвольный сигнал. Известными считаются и коэффициенты, которые определяются составом и свойствами системы и, в свою очередь, характеризуют ее модель.

Операторный метод Для рассматриваемого примера заменим в уравнении воздействие и отклик их лапласовыми изображениями. Если начальные условия не нулевые, то изображения производных включают их явно.

Передаточная функция Передаточной функцией звена W(S) называется отношение изображений Лапласа выходной и входной величин при нулевых начальных условиях.

Классификация типовых звеньев линейных систем Простейшие или фундаментальные звенья: пропорциональное; интегрирующее; дифференцирующее. Звенья первого порядка: апериодическое (инерционное); форсирующее; другие. Звенья второго порядка: колебательное; апериодическое звено второго порядка (частный случай колебательного звена). Звенья третьего порядка: звено Вышнеградского; другие звенья. Звено запаздывания.

Задание Для объекта, модель которого задана уравнением, записать передаточную функцию, определить её нули и полюса. Перейти от передаточной функции к модели ОУ в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Частотные характеристики Если подать на вход системы с передаточной функцией W(p) гармонический сигнал, то после завершения переходного процесса на выходе установится гармонические колебания с той же частотой, но иными амплитудой и фазой, зависящими от частоты возмущающего воздействия. По ним можно судить о динамических свойствах системы. Зависимости, связывающие амплитуду и фазу выходного сигнала с частотой входного сигнала, называются частотными характеристиками (ЧХ). Анализ ЧХ системы с целью исследования ее динамических свойств называется частотным анализом.

Зная передаточную функцию звена W(p) легко получить все его частотные характеристики. Для этого необходимо подставить в нее jω вместо p, получим АФЧХ W(jω). Затем надо выразить из нее ВЧХ P(ω) и МЧХ Q(ω). После этого преобразуют АФЧХ в показательную форму и получают АЧХ A(ω) и ФЧХ φ(ω), а затем определяют выражение ЛАЧХ L(w) = 20lgA(ω) (ЛФЧХ отличается от ФЧХ только масштабом оси абсцисс).

Пропорциональное звено Пропорциональным называется звено, которое описывается уравнением y = k u. Передаточная функция: W(p) = k. АФЧХ: W(jω) = k. ВЧХ: P(ω) = k. МЧХ: Q(ω) = 0. АЧХ: A(ω) = k. ФЧХ: φ(ω) = 0. ЛАЧХ: L(ω) = 20lgk.

Интегрирующее звено Передаточная функция: W(p) = k/p. Рассмотрим частный случай, когда k = 1, то есть W(p) = 1/p.