Статистические игры С единичным экспериментом

Виды экспериментов При решении статистических игр с единичным экспериментом возможно провести идеальный, либо неидеальный эксперимент. Идеальный – это такой эксперимент, который полностью выясняет состояние «природы». Неидеальный эксперимент уточняет вероятности (в смысле Байеса).

Идеальный эксперимент Один из основных вопросов статистической игры с идеальным экспериментом состоит в определении, покроет ли эффект от эксперимента затраты на его проведение. Если да – то эксперимент целесообразно проводить, если нет – то эксперимент не проводится.

Идеальный эксперимент Оперирующая сторона обычно называется статистиком, который располагает возможными стратегиями x 1, x 2, …, x m. Вторая сторона – «природа». Она может находится в одном из состояний П 1, П 2,…, П n с вероятностями q 1, q 2,…, q n. Можно считать, что если мы не будем проводить эксперимент, то можем выбрать ту стратегию, которой соответствует

Идеальный эксперимент Если мы проведем эксперимент, то выясним, какое из состояний П j будем иметь место и уже тогда выберем Проведение эксперимента целесообразно, если результирующий выигрыш будет выше, чем сумма старого выигрыша (доэкспериментального) и стоимость эксперимента

Пример На технологическую линию может поступать сырье разного качества. Из прошлого опыта известно, что в 60% случаев поступает сырье с малым количеством примесей П 1, в 40% случаев - сырье с большим количеством примесей П 2. На технологической линии предусмотрены 3 режима работы. Прибыль предприятия от реализации продукции, производимой технологической линией, зависит от качества используемого сырья и режима работы технологической линии. Эта прибыль в расчете на один день работы представлена матрицей Определить предельную стоимость эксперимента, который целесообразно проводить один раз в день с целью точного определения качества сырья.

Неидеальный эксперимент В случае неидеального эксперимента мы имеем следующие входные данные: Стратегии статистика X=(x 1, x 2, …, x m ) Вектор состояний природы П=(П 1, П 2,…, П n ) Вектор априорных вероятностей Q=(q 1, q 2,…, q n ) Матрица выигрышей {a ij } Множество возможных исходов единичного эксперимента S=(s 1,s 2,…,s k ) Матрица условных вероятностей W={w ij =P(s i /П j } Цена эксперимента С. В этом случае необходимо решить 2 вопроса: Целесообразно ли проводить эксперимент? Если проводить эксперимент целесообразно, то определить, какая из стратегий должна быть выбрана в качестве оптимальной

Неидельный эксперимент Если в результате эксперимента возникает ситуация S, то используя формулу Байеса, можно рассчитать апостериорные вероятности: Определяем для каждой стратегии i средний выигрыш с учетом апостериорных вероятностей: Условный средний выигрыш от стратегии x i при условии, что эксперимент дал результат S.

Неидеальный эксперимент Находим соответствующий оптимально- средний выигрыш Для усреднения этого результата по всем возможным исходам S нужно найти вероятности каждого исхода

Неидеальный эксперимент Находим средний выигрыш при условии проведения эксперимента Необходимо сравнить полученный результат с Очевидно, что эксперимент следует проводить при условии

Пример xi\Пjxi\Пj П1П1 П2П2 П3П3 П4П4 x1x x2x x2x q S \П j П1П1 П2П2 П3П3 П4П4 S1S S2S S3S