Матрицы Метод Леверье Метод Крылова

Метод Леверье Метод Леверье основан на формулах Ньютона для сумм степеней корней алгебраического уравнения и заключается в следующем. Пусть характеристический многочлен матрицы А

Метод Леверье Рассмотрим суммы:

откуда получаем: при k=1 p 1 = –S 1 при k=2 ………………………………………………………………………………. при k=n Следовательно, коэффициенты характеристического многочлена p 1, p 2,…, p n можно легко определить, если известны суммы S 1, S 2,…, S n. Метод Леверье. Каждая сумма S k есть след матрицы A k. Тогда при kn справедливы формулы Ньютона:

Метод Крылова Метод Крылова основан на свойстве квадратной матрицы обращать в нуль свой характеристический многочлен. Согласно теореме Гамильтона-Кали, всякая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена и, следовательно, обращает его в нуль. Пусть характеристический многочлен. Заменим величину λ на A, получим (1)

Метод Крылова Возьмем произвольный ненулевой вектор Умножим обе части выражения (1) на y (0) : Положим т.е. Получим

Метод Крылова Иначе Если эта система имеет единственное решение, то ее корни являются коэффициентами характеристического многочлена.

Задания Найти характеристические уравнения матриц различными методами.