Эпиграф к уроку: Николай Иванович Лобачевский, русский математик девятнадцатого века : « Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применима к явлениям действительного мира.»

Тема урока: Определение арифметической прогрессии. Формула n- го члена арифметической прогрессии. Основная цель : познакомиться с определением арифметической прогрессии, формулой n- го члена арифметической прогрессии и примерами их применения при решении задач.

Теоретическая разминка: Последовательность – это ряд чисел. Последовательности обозначаются ( а n ),( b n ),( с n ). Числа, образующие последовательность, называются членами этой последовательности. Последовательность можно задать описанием, графически, с помощью формулы. Способ задания последовательности, позволяющий найти любой член последовательности через предыдущий, называется рекуррентным. По количеству членов, содержащихся в последовательности, различают конечные и бесконечные последовательности.

Математический диктант: 1. Конечной или бесконечной является последовательность чисел, кратных 5? 2. Конечной или бесконечной является последовательность делителей числа 100? 3. Какой член последовательности ( а n ) следует за членом а 18 ? а 123 ? а х ? 4. Какой член последовательности ( b n ) предшествует b 8 ? b 345 ? b 2 х ? 5. Последовательность ( а n ) задана формулой n- го члена : а n =5n+2. Укажите, чему равен её десятый член. 6. Последовательность ( b n ) задана рекуррентной формулой : b n+1 = b n -4, где b 1 =5. Укажите, чему равен её второй член. 7. Укажите первый член последовательности всех двузначных чисел. 8. Укажите последний член последовательности правильных дробей со знаменателем Сколько всего членов содержит последовательность однозначных простых чисел ?

Проверим : 1. Конечной или бесконечной является последовательность чисел, кратных 5? БЕСКОНЕЧНОЙ 2. Конечной или бесконечной является последовательность делителей числа 100? КОНЕЧНОЙ 3. Какой член последовательности ( а n ) следует за членом а 18 ? а 123 ? а х ? а 19, а 124, а х Какой член последовательности ( b n ) предшествует b 8 ? b 345 ? b 2 х ? b 7, b 344, b 2 х Последовательность ( а n ) задана формулой n- го члена : а n =5n+2. Укажите, чему равен её десятый член. а 10 =5 · 10+2=52 6. Последовательность ( b n ) задана рекуррентной формулой : b n+1 = b n -4, где b 1 =5. Укажите, чему равен её второй член. 5-4=1 7. Укажите первый член последовательности всех двузначных чисел Укажите последний член последовательности правильных дробей со знаменателем /15 9. Сколько всего членов содержит последовательность однозначных простых чисел ? Четыре : 2,3,5,7.

Обрати внимание: В жизни часто бывает так, что величины с течением времени изменяются на одно и то же их значение. Пример 1: Верблюд, двигающийся по пустыне, ежедневно уменьшает запасы воды в своих горбах на одну и ту же величину. Пример 2: Настоящий спортсмен, чтобы достичь высоких результатов, ежедневно увеличивает время на тренировки на одно и то же количество минут. Пример 3: Возраст человека ежегодно увеличивается на один год ; а время, отведённое человеку на жизнь, ежегодно уменьшается на один год. Все эти примеры, примеры числовых последовательностей, каждая из которых является арифметической прогрессией.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ: Последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией. Определение задаёт арифметическую прогрессию рекуррентно, т. к. по определению, если ( а n ) – арифметическая прогрессия, то для любого натурального числа n выполняется условие а n +1 = а n + d, где d – некоторое число. Из определения следует, что разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим равна d, т. е. d = а n +1 - а n. Неслучайно, d называют разностью арифметической прогрессии.

Какие из данных последовательностей являются арифметическими прогрессиями ? Укажите каждой для них первый член а 1 и разность d. 1) 1; 4; 7; 10;.. 2) 1; 4; 15; 18;.. 3) 1; -2; -5; -6;.. 4) 1; -1; -3; -5;.. 5) 1; 1; 1; 1;.. Что достаточно указать, чтобы задать арифметическую прогрессию ?

Заполните таблицу, используя определение арифметической прогрессии: а1а1 d а2а2 а3а3 а4а4 а5а ,7-0,2 -3,50 При к аком з начении d а рифметическая п рогрессия я вляется возрастающей ? У бывающей ? П остоянной ? ,51,3 1,1 0,9 -3,5

Рассмотрим задачу: На склад сразу было завезено 500 т овощей. Ежедневно на склад привозили по 30 т овощей. Сколько тонн овощей стало на второй день ? На третий ? На четвёртый ? А на двадцатый ? На сотый ? Дано : ( а n ) - арифметическая прогрессия а 1 =500 d = 30 Найти : а 2, а 3, а 4, а 20, а 100. Решение : По определению арифметической прогрессии а n +1 = а n + d, значит а 2 = а 1 + d=500+30=530 а 3 = а 2 +d =530+30=560 а 4 = а 3 +d=560+30=590 а 20 = а 19 +d=?+30=? а 100 = а 99 +d=?+30=? Вывод : использование только определения арифметической прогрессии при решении задач приводит к выполнению большого количества лишних действий и нахождению ненужных для данной задачи членов этой прогрессии. Нужна формула, позволяющая быстро найти любой член последовательности, не прибегая к нахождению всех предшествующих ему членов, т. е. нужна формула n- го члена арифметической прогрессии.

ТЕОРЕМА : Для любого члена арифметической прогрессии верно равенство: а n = а 1 + d(n-1). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО : 1. Убедимся в справедливости этого равенства для первого члена арифметической прогрессии : равенство верно 2. Убедимся в справедливости этого равенства для других членов арифметической прогрессии : равенство верно и для них а 5 = а 1 + 4d, а 6 = а 1 + 5d, а 7 = а 1 + 6d, а 8 = а 1 + 7d, а 9 = а 1 + 8d и т. д. Чтобы найти любой член арифметической прогрессии по формуле n- го члена, нужно к первому члену прибавить разность, взятую столько раз, сколько членов стоит перед искомым членом. а 1 = а 1 + d(1-1 ) а 1 = а 1 а 2 = а 1 + d а 2 = а 1 + d(2-1 ) а 3 = а 1 + d(3-1 ) а 3 = а 1 + d+d а 3 = а 1 + 2d а 3 = а 2 + d а 4 = а 1 + 3d а 4 = а 1 + 2d+d а 4 = а 3 + d а 4 = а 1 + d(4-1 )

Рассмотрим задачу: Кот Васька научился ловить мелких рыбёшек на мелководье. В первый день поймал 1 рыбку, а в каждый следующий день ловил на 2 рыбки больше, чем в предыдущий. Сколько рыбёшек Василий поймал на десятый день охоты удачной охоты ?