«Квадратные уравнения» ( алгебра, 8 класс) Автор: Полетайкина В.Н. Милькова Т.И. учителя математики МОУ Власовская средняя общеобразовательная школа

В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления. Ермаков В.П.

Историческая справка - Простые уравнения люди научились решать более трех тысяч лет назад в Древнем Египте, Вавилоне и только 400 лет назад научились решать квадратные уравнения. Одним из тех, кто внес большой вклад в развитие математики, был французский математик Виет. Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел

Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + вх +с = 0, где х – переменная, а, в и с некоторые числа, причем а 0. а - первый коэффициент, в - второй коэффициент, с – свободный член. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ а 0, в 0, с 0 а 0, в = 0, с = 0 3х 2 + 7х – 9 = 0 4х + х 2 – 3 = 0 х 2 + 3х – 7 = х - х 2 = 0 3х 2 - 2х = 0 2х + х 2 = х 2 = 0 49х 2 – 81 = 0

1) 6х 2 – х + 4 = 0 2) 12х - х = 0 3) 8 + 5х 2 = 0 4) х – 6х 2 = 0 5) - х + х 2 = 15 а = 6, в = -1, с = 4; а = -1, в = 12, с = 7; а = 5, в = 0, с = 8; а = -6, в =1, с = 0; а = 1, в =-1, с = -15. Определите коэффициенты квадратного уравнения:

РЕШЕНИЕ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ в = 0 ах 2 + с = 0 с = 0 ах 2 + вх = 0 в, с = 0 ах 2 = 0 1.Перенос с в правую часть уравнения. ах 2 = -с 2.Деление обеих частей уравнения на а. х 2 = -с/а 3.Если –с/а > 0 -два решения: х 1 = и х 2 = - Если –с/а < 0 - нет решений 1. Вынесение х за скобки: х(ах + в) = 0 2. Разбиение уравнения на два равносильных: х=0 и ах + в = 0 3. Два решения: х = 0 и х = -в/а 1.Деление обеих частей уравнения на а. х 2 = 0 2.Одно решение: х = 0.

РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО УРАВНЕНИЯ РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО УРАВНЕНИЯ : а) 2х + х 2 = 0 б) х 2 – 81 = 0 в) 3х 2 – 2х = 0 г) х 2 = 0 Проверь себя: а) 2х + х ² = 0 б) х ² – 81 = 0 в) 3х ² – 2х = 0 г) х ² = 0 х ( 2 + х) = 0 х² = 81 х (3х – 2) = 0 5х² = х = 0 или 2 + х = 0 х = 9 х = -9 х = 0 или 3х – 2 = 0 х² = - 25 х = -2 Ответ: 9; -9 3х = 2 Ответ: корней нет Ответ: 0; -2 х = 2/3 Ответ: 0; 2/3

Способы решения полных квадратных уравнений 1.Выделение квадрата двучлена. 2.Формула: D = b 2 - 4ac, x 1,2 = 3.График. 4.Теорема Виета.

Алгоритм решения квадратного уравнения ах² + bx + c = 0 1. Вычислить дискриминант D по формуле D = b ² - 4ас. 2. Если D < 0, то квадратное уравнение ах ² + bx + c = 0 не имеет корней. 3. Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень, который находится по формуле х = - в/ 2а 4. Если D > 0, то квадратное уравнение ах ² + bx + c = 0 имеет два корня: х 1,2 = (-в ±D)/2а

Вторая формула D 1 =k-ac, D 1 >0, x 1,2 =-k±D 1 /a, где k=b/2 Если D 1 0 x=(4±1)/5, x=(4±1)/5, x 1 =1, x 2 =3/5. Ответ: 1; 3/5

РЕШИ УРАВНЕНИЯ способом выделения квадрата двучлена : 1. - х + 3х 2 – 70 =0 2. 2х 2 -9х + 10 = 0 3. х 2 – 8х -9 = 0

РЕШИ УРАВНЕНИЯ с помощью формулы : а) -7х + 5х =0 б) (х – 1)(х + 1) = 2 (5х – 10,5) в) 2х 2 + 5х -7 = 0 г) –х 2 = 5х - 14 д) х 2 – 8х + 7 = 0 е) 6х – 9 = х 2

РЕШИ УРАВНЕНИЯ графически : 1) 1/3х 2 -х = - 2/3 2) а) х 2 + 1,5х = 2,5 3) а) 6х + х 2 – 3 =0

Решение нестандартных задач Найти корни уравнения 1978 х ² х + 6 = 0 Правило: Если в квадратном уравнении ах² + вх + с = 0 сумма коэффициентов а + в + с = 0, то х 1 = 1, х 2 = с/а Если а – в + с = 0, то х 1 = -1, х 2 = - с/а Ответ: х 1 = 1, х 2 = 6/1978 = 3/989

Теорема Виета Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Иначе говоря, если x 1 и x 2 - корни уравнения х ² +px + q = 0, то x 1 + x 2 = - p, х 1* x 2 = q.

Франсуа Виет Данные формулы называют формулами Виета в честь французского математика Ф.Виета ( ), который ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений. Например, приведенное уравнение х² - 7х +10 = 0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Видно, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Исторические сведения: Квадратные уравнения впервые встречаются в работе индийского математика и астронома Ариабхатты. Другой индийский ученый Брахмагупта (VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое практически совпадает с современным. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто облекались в стихотворную форму. ________________________________________________ Вот задача Бхаскары: О безьянок резвых стая, всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая на полянке забавлялась. А двенадцать по лианам стали прыгать, повисая. Сколько ж было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?

Решение задачи Бхаскары: Пусть было x обезьянок, тогда на поляне забавлялось –. Составим уравнение: + 12 = х Ответ: х 1 = 16, х 2 = 48 обезьянок.