Производная функции

1. Задача, приводимая к понятию «производная» 1. Задача, приводимая к понятию «производная» Мгновенная скорость движения Физический (механический) смысл производной

О S Физический смысл производной

Физический смысл производной состоит в том, что он выражает мгновенную скорость в момент времени t Физический смысл производной

2. Задача, приводимая к понятию «производная» 2. Задача, приводимая к понятию «производная» 1.Опреление касательной 2.Определение положения касательной, геометрический смысл производной

Прямая, проходящая через точку М 0 (х 0; f(х 0 )), с отрезком которой почти сливается график функции f(х),называют касательной к графику в точке х 0 Прямая, проходящая через точку М 0 (х 0; f(х 0 )), с отрезком которой почти сливается график функции f(х),называют касательной к графику в точке х 0 x0x0 f(x 0 ) M0M0 X y Задача, приводимая к понятию производная 0

Задача: Определить положение касательной (tgφ) х у 0 М0М0 х0х0 f(x 0 ) М х f(x) =x 0 +x x У =f(x 0 +x) φ Секущая, поворачиваясь вокруг точки приближается к положению касательной Предельным положением секущей МоМ, когда М неограниченно приближается к Мо, является касательная Пусть дан график функции f(х) и касательная, проходящая через точку М 0,которая образует с положительным направлением оси ОХ угол φ Отметим точку М, координаты которой рассмотрим как приращение координат точки М 0 Через точки М и М 0 проведём секущую, которая образует с осью ОХ угол Будем перемещать точку М вдоль графика, приближая её к точке М 0. Соответственно будет меняться положение секущей ММ 0 При этом координата х точки М будет стремиться к х 0 К чему будет стремиться приращение аргумента? А к какому углу будет стремиться угол ?

x0x0 f(x 0 ) M X y 0 x0+xx0+x К f(x 0 + х ) х Р у ΔМРК

Геометрический смысл производной Геометрический смысл производной функции в точке а состоит в том, что он выражает угловой коэффициент касательной

1) x = х- Х0, х= Х0 + x 2) у = f(x) - f(x0) у = f(x0+x) – f(x0). 3) 4) 5)

Производной функции y = f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции f к приращению аргумента x, стремящегося к "нулю. Обозначается f ' (x 0 ).

Если функция у = f (х) имеет производную в точке x 0, то говорят, что она дифференцируема в точке x 0. Нахождение производной данной функции называется дифференцированием.

Самое главное