Элементы теории делимости Автор учебно-методического проекта Киселев П.Н., учитель математики Ядринской национальной гимназии

Дорогой мой ученик, я рад, что ты готов сотрудничать со мной в познании математики

Самое важное Понятие делимости; Признаки делимости; Деление с остатком; Свойства деления с остатком; Алгоритм Евклида нахождения НОД целых чисел;

Понятие делимости Определение. Целое число a делится на целое число b, не равное нулю, если существует целое число k, такое, что a=bk. Пример. –48 делится на 8, так как существует целое число –6, что -48=8*(-6). Запись 0:0 не имеет числового значения, т.к. для всех целых b справедливо равенство 0=b*0 и потому 0:0 не определено однозначно. Не имеет числового значения запись а:0, т.к. в этом случае нет ни одного целого числа с, что а = 0*с.

Признаки делимости Число делится на 2 тогда и только тогда, когда оно оканчивается четной цифрой. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0 или 5. Число делится на 4 (n-ую степень 2) тогда и только тогда, когда число, выраженное двумя ( n) последними цифрами, делится на 4 (n-ую степень 2). Число делится на 3 (9) тогда и только тогда, когда на 3 (9) делится его сумма цифр. Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность его цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делится на 11.

Деление с остатком Основой применения понятия деления с остатком является следующая теорема : Теорема (о делении с остатком). Для любого целого числа а и натурального числа b существует единственная пара целых чисел q и r, таких, что выполняются два условия: a=bq + r и 0

Свойства деления с остатком Числа a и b дают при делении на n равные остатки тогда и только тогда, когда разность a - b делится на n. Пример и – 71 при делении на 5 дают равные остатки, так как 204 – (- 71)=275, а 275 делится на 5. Пример 2. Найдем остаток от деления числа на 14. Решение (mod 14). Тогда (mod 14). Чтобы найти остаток от деления 3 63 на 14, воспользуемся тем, что (mod 14). Значит, (3 3 ) 21 (-1) 21 (mod 14). Но (-1) 21 = -1 и -113 (mod 14). Тогда по свойству транзитивности (mod 14), т.е. остаток от деления на 14 равен 13. Ответ: 13.

Алгоритм Евклида Пусть при делении а на b, получается остаток r, не равный нулю, т.е. a = bq + r, где 0

Решение. Будем делить большее число на меньшее Последний отличный от нуля остаток есть наибольший общий делитель D(1271, 713) = 31

Математический диктант

Вариант 1Вариант 2 Задача 1 Из данных пар чисел выберите те, которые при делении на 3 дают равные остатки а) 748 и 445; б) 91 и 20; в) 152 и –28. Задача 1 Из данных пар чисел выберите те, которые при делении на 5 дают равные остатки а) 867 и 522; б) 77 и 24; в) 101 и -14

Вариант 1Вариант 2 Задача 2 Не выполняя деления, найдите остаток, который получается при делении на 9 числа Задача 2 Замените * цифрой так, чтобы число 283*645 делилось на 55.

Вариант 1Вариант 2 Задача 3 Верно ли высказывание: если число а делится на 6, то оно делится и на 12. Задача 3 Не выполняя деления, найдите остаток, который получается при делении на 9 числа

Вариант 1Вариант 2 Задача 4 Замените * цифрой так, чтобы число 345*76 делилось на 22. Задача 4 Верно ли высказывание: Если число а не делится на 6, то оно не делится и на 12.

Вариант 1Вариант 2 Задача 5 Найдите D(48;60). Задача 5 Найдите D(54;72).

Вариант 1Вариант 2 Задача 6 Найдите K(84;90). Задача 6 Найдите К(64;96).

Вариант 1Вариант 2 Задача 7 Найдите количество делителей числа Задача 7 Найдите количество делителей числа