МОУ «СОШ 4» г.Новочебоксарск

Легенда о шахматной доске или сумма первых n членов геометрической прогрессии Алгебра 9 класс

Цель урока: - вывести формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии; -повысить интерес к математике.

легенда

Шахматы - одна из самых древних игр. Она существует уже многие века, и неудивительно, что с нею связаны различные предания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить. Одну из подобных легенд я и хочу рассказать. Чтобы понять её, не нужно вовсе уметь играть в шахматы: достаточно знать, что игра происходит на доске, разграфлённой на 64 клетки (попеременно чёрные и белые).

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищён её остроумием и разнообразием возможных в ней положений.

Царь приказал позвать изобретателя, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый учёный, получавший средства к жизни от своих учеников.

Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал. Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твоё пожелание Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь её.

Повелитель, прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно. Простое пшеничное зерно? - изумился царь. Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью 4, за четвёртую - 8, за пятую - 16, за шестую - 32 …

Ты получишь свои зёрна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моею милостью.

Придворные математики исчисляют число следуемых зёрен. Математики твои трудятся без устали и надеются ещё до рассвета закончить подсчёт. Мы добросовестно исчислили всё количество зёрен, которое желает получить Сета. Число это так велико... Вечером, отходя ко сну, царь осведомился, давно ли Сета со своим мешком пшеницы покинул ограду дворца и услышал…

Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зёрен, какое потребовал Сета. Нет его и в житницах всего государства. Не найдётся такого числа зёрен и на всём пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажите растопить льды и снега, покрывающие далёкие северные пустыни. Пусть всё пространство их сплошь будет засеяно пшеницей. И всё то, что родиться на этих полях, прикажи отдать Сете. Тогда он получит свою награду. Я желаю услышать, выдана ли, наконец, Сете та ничтожная награда, которую он себе назначил?

С изумлением внимал царь словам старца

- Назови же мне это чудовищное число. 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615, о повелитель

Такова легенда. Действительно ли было то, что здесь рассказано, неизвестно, - но что награда, о которой говорит предание, должна была выразиться именно таким числом, в этом вы сами можете убедиться терпеливым подсчётом

S=1+2+2²+2³+…+2²+2³ умножим обе части на 2 2S=2+2²+2³+…+2²+2³+2 Вычтем 2S-S=S S=(2+2²+2³+…+2²+2³+2) -(1+2+2²+2³+…+2²+2³) S=2-1 Масса такого количества пшеничных зерен больше триллиона тонн (это превосходит количество пшеницы, собранной до настоящего времени)

S n =b+b+…+b n-1 +b n (1) умножим обе части на q S n q=bq + bq+…+b n-1 q +b n q учитывая, что bq=b, bq= b,…, b n-1 q=b n получим S n q =b+ b …+b n-1 +b n + b n q (2) Вычтем из (2) - (1) S n q –S n =(b+ …+b n-1 +b n + b n q)- -(b+b+…+b n-1 +b n )= b n q- b S n (q –1)= b n q- b ( при q1 )

Подведем итог: Мы получили формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии, в которой q 1 При решении задач удобно пользоваться формулой записанной в другом виде: