Система подготовки к ЕГЭ по математике Учитель математики МОУ «Среднетатмышская ОСШ» Канашского района ЧР Петрова Ирина Николаевна 2010 г. Тема: «Решение задач на смеси, растворы и сплавы»

Человеку часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, газообразные или твердые вещества, или разбавлять что-либо водой. Текстовые задачи на смеси, сплавы и растворы входят в различные сборники заданий по математике ГИА и ЕГЭ. «Закон сохранения объема или массы» Если два сплава (раствора) соединяют в один «новый» сплав (раствор), то V = V 1 + V 2 – сохраняется объем; m = m 1 + m 2 – сохраняется масса. Примеры: Если сплав содержит свинец и медь в отношении 4:7, то в этом сплаве 4/11 частей от массы сплава составляет масса свинца, а 7/11- масса меди. Немного теории. Абсолютное содержание вещества в смеси – это количество вещества, выраженное в единицах измерения (грамм, литр и др.) Относительное содержание вещества в смеси – это отношение абсолютного содержания и общей массы (объему) смеси. Часто относительное содержание вещества в смеси называют концентрацией или процентным содержанием. Сумма концентраций всех компонентов смеси равна 1. Если имеется 40%-й раствор соли, то в этом растворе 0,4 объема занимает «чистая» соль. Значит, объемная концентрация соли в растворе равна 0,4.

Задача 1 Два литра шестипроцентного уксуса разбавили тремя литрами однопроцентного уксуса. Каково процентное содержание уксуса в полученном растворе? х% 1% 6% 12 3 Уксуса Найдем сколько л. уксуса в каждом сплаве: в 1 сплаве: 2 л. – 100% ? л. – 6%: во 2 сплаве: 3 л. – 100% ? л. – 1%: в 3 сплаве: 5 л. – 100% ? л. – х%: Составим уравнение: Решая уравнение получаем, что х = 3. Ответ: 3 2 л.3 л. 5 л.

Задача 2 Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11?

2ч 3ч 7ч 5 11 Xx кг (1 – х) кг 1 кг Золота: в 1 сплаве – во 2 сплаве – в 3 сплаве - Серебра: в 1 сплаве – во 2 сплаве – в 3 сплаве - Решая эти уравнения, получаем, что х = 0,125 (кг) – масса 1 сплава х – 1 = 0,875 (кг) – масса 2 сплава Ответ: 125 г и 875 г. или Записываем одно из уравнений: кг кг кг 1 сплав2 сплав новый 3 сплав

Задача 3 Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди? 15% 85% 65% 35% 30% 70% 1способ. Изобразим сплавы в виде прямоугольников М С СС ММ += Найдем скольео граммов меди в каждом сплаве: в 1 сплаве: во 2 сплаве: х (г) – 100%; (200 –х) (г) - 100%; ? (г) – 15%; ? (г) – 65%; 0,15х (г). 0,65х (200 – х) (г). В новом сплаве: 200 (г) – 100%; ? (г) – 30%; 0,3 · 200; Напишем уравнение: 0,15х + 0,65(200 – х) = 0,3 · 200; х = 140 (г) – 1 сплава: 200 – 140 = 60 (г) – 2 сплава Ответ: 140г 60г х (г) (200 –х) (г) 200 (г)

х + у = 200 0,15х + 0,65у = 0,3 · % 65% 30% 2способ. М М М += х (г) у (г) 200 (г) Ответ: 140г и 60г х = 140 у = 60

«Правило креста» При решении задач на смешивание растворов разных концентраций используется «правило креста». В точке пересечения двух прямых обозначают концентрацию смеси. У концов этих прямых слева от точки пересечения указывают концентрации составных частей смеси, а справа – разности концентраций смеси и ее составных частей: Например, для приготовления 30 г 80%-го раствора H 3 PO 4 требуется взять 20 г 90%-го и 10 г 60%-го растворов кислоты.

Старинный способ решения задач на смешивание двух веществ Из схемы делаем заключение, что дешевого масла нужно взять втрое больше, чем дорогого, т.е. для получения одного ведра ценою 7 гривен нужно взять дорогого масла 1/4 ведра, а дешевого масла 3/4. Задача 4. У некоторого человека были на продажу масла двух сортов: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла ценою 7 гривен? = =3

Современная задача на смешение тоже может быть решена этим старинным способом: Задача 5. Имеются два раствора 68% и 78%-ной серной кислоты. Сколько надо взять каждого раствора, чтобы получить 100г. 70% -ного раствора серной кислоты? Запишем пропорцию: 1) 100 г – 10 частей; ? г. - 8 ч. ; : 10 = 80 (г) - 68% кислоты 2) 100 г – 10 ч; ? г. - 2 ч : 10 = 20 (г) - 78% кислоты Ответ: Надо взять 80г. 68% кислоты и 20 г. 78% -ного раствора серной кислоты.

Задача 6 Свежие грибы содержат 80% влаги, а сушеные грибы 20% влаги. Сколько сушеных грибов получится из 20 кг. свежих грибов. 80% 20% 80% 20 кг Вода Сх.в. Вода Сх.в 1 способ: аналитический. Найдем сколько килограмм сухого вещества в свежих и сушеных грибах. 20% = 0,2; 20 0,2 = 4 (кг.) –сх.в. в свежих грибах 4 кг. - 80%; х кг - 100%; : 80 = 5 (кг) сух Ответ: 5 кг. х кг.

100 % 80 % 20 частей.20 % 80 частей 2 способ. Из 80 кг. свежих грибов получается 20 кг. сухих. Составим пропорцию: Из 80 кг – 20 кг; Из 20 кг – х кг. х = : 80 = 5 (кг) –сушеных гриблв из 80 кг свежих. Ответ: 5 кг.

Задача 7 Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять? 0,3x + 0,1 · (600 - x) = 600 · 0,15; 30x + 10 · (600 - x) = 600 · 15; x = 150 (г) – первого раствора; 600 – 150 = 450 (г) – второго раствора; Ответ: 150г 30% и 450г 10% раствора. 30% 10% 15% соляная кис. 1 способ: аналитическая модель. x г. (600 - x) г. 600 г.

2 способ: старинный (арифметический) способ 15 % 30 % 1510 % 5 На 5 частей 30% раствора надо взять 15 частей 10% раствора – 20 (частей) – 600 г.. Составим пропорцию: 600 г. – 20 частей; х г. – 5 ч. Ответ: 150г 30% и 450г 10% раствора.

3 способ: с использованием графика. Приравнивание площадей равновеликих прямоугольников: Пусть хг 30% раствор, тогда (600 – х)г – 10% раствор; 15x = 5 (600- x); x =150. Ответ: 150г 30% и 450г 10% раствора П (%) x m(г) S 1 = S 2 S1S1 S2S2 600

Задача 8 Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить140 т стали с содержанием 30% никеля? 1 способ: «правило креста». 1) 140 т - 35 частей; х т - 10 частей. х = : 35 = 40 (т) - 5% лом, 2) 140 – 40 = 100 (т) - 40% лом. Ответ: 40 т и 100 т 30 %5 % 25 частей40 % 10 частей

Задача 8 Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить140 т стали с содержанием 30% никеля? С использованием графика: (приравнивание площадей равновеликих прямоугольников) х т. - 40% лом; (140 – х) т - 5 % лом; 1) 10 х = 25 (140 – х) х = 100 (т) % лом; 2) 140 – 100 = 40 (т) - 5 % лом. Ответ: 100 т и 40 т. n (%) x m(г) S 1 = S 2 S1S1 S2S2 140

Задача 9 Имеется два кислотных раствора: один 20%, другой 30%. Взяли 0,5 л первого и 1,5 л второго раствора и образовали новый раствор. Какова концентрация кислоты в новом растворе? 20% 30% х% 0,5 л. 1,5 л. 2 л. 0,5 0,2 + 1,5 0,3 = 2 0,01 х; 0,1 + 0,45 = 0,02 х; 0,55 = 0,02 х; х = 27,5 (%). Ответ: 27,5.

Задача 10. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» 20 т руды с содержанием меди 8%? Ответ: 12 т руды с 6% содержанием меди 6% 11% 8% х т. (20 – х) т. 20 т. 5 частей – 20 т. 3 части – х т. 5 частей 8%6% 2 части11 % 3части

Способ Л.Ф. Магницкого для трех веществ. Задача 11. Некто имеет чай трех сортов –цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт? Взять 6+2=8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт. Возьмем 8/10 фунта чая ценой по 5 гривен за фунт и по1/10 фунта чая ценой 8 и 12 гривен за фунт, то получим 1 фунт чая ценой 8/10*5 + 1/10*8 + 1/10*12 = 6 гривен = 8 1 1

Вот решение из "Арифметики" Л.Ф.Магницкого: "А когда случится мешати три товара из них же сделати четвертый по желаемой цене и тогда един перечень малейший дважды в правиле полагается. Яко же эдесь видимо есть: = 8 Здесь предлагается взять 6+2=8 частей чаю ценою по 5 гривен и по одной части чая ценой 8 гривен и 12 гривен за фунт. Указанный Л.Ф.Магницким способ состоит в следующем. Надо дважды применить способ записи исходных данных и необходимых количеств веществ, причем в первый раз взять вещества с большей и меньшей стоимостью, а во второй раз с наименьшей и средней стоимостью. Повторив действие вычитания и соответствующей записи разности, получим доли, в которых нужно смешивать вещества наибольшей и средней стоимости (на соответствующих строках). Сложив доли дешевого вещества, найденные в первый и второй раз, получим долю дешевого вещества в общей смеси

Задача 12. Сплавили два слитка серебра: 75 г 600-й и 150 г 864-й пробы. Определить пробу сплава. Пусть проба сплава равна х. Составим диагональную схему: Получаем: (864 – х) : (х – 600) = 75 : – 2х = х – 600 х = 776. Ответ: сплав 776-й пробы.

Задача 13. От двух кусков сплава с массами 3 кг и 2 кг и с концентрацией меди 0,6 и 0,8 отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого куска, после чего концентрация меди в обоих сплавах стала одинаковой. Какова масса каждого из отрезанных кусков? Обозначим массу отрезанного куска х (кг). Так как в обоих сплавах концентрация меди после двух операция стала одинаковой, то массы сплавов и массы меди в этих сплавах пропорциональны. Первоначально массы меди в сплавах равны 0,6 3(кг) и 0,8 2(кг). После того, как отрезали куски массой х(кг), содержание меди стало 0,6(3-х) и 0,8(2-х), а после сплавления 0,6(3-х) + 0,8х и 0,8(2-х) +0,6х 1,8+0,2х 23 m м (кг) m c (кг) 1,6-0,2х х = 1,2 ; Ответ: 1,2 кг

Задача 14. Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в котором 75% меди. Сколько килограммов меди было в куске латуни первоначально? Обозначим искомую величину за х. Тогда масса первоначального куска латуни 2х – 11, а его содержание меди составляет р = процентов. Поскольку «медность» куска меди 100%, то по «правилу креста» получаем:. Ответ: 22,5 кг меди было в куске латуни 75 p2575-p100

Задача 15. В бидон налили 4л молока трехпроцентной жирности и 6л молока шестипроцентной жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в бидоне? Обозначим искомую величину за х. По правилу крестаа получим: Составим пропорцию:, х = 4,8 Ответ: 4,8 % - жирность молока. х х Х - 3 6

ЕГЭ задачи на смеси и сплавы Задача 16. Виноград содержит 90% влаги, а изюм 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма? Задача 17. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? Задача 18. Первый сплав содержит 10% меди, второй 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Использованная литература: