Максимова Хиония Гурьевна, учитель математики МОУ «Аликовская СОШ» Решение простейших тригонометрических уравнений

Пояснительная записка При изучении данной темы часто замечается трудное восприятие учащимися общих формул решений тригонометрических уравнений и ошибки при их применении. Видимо, одна из причин непонимание сути записанных формул. В ныне действующем учебнике А.Н Колмогорова к решению простейших тригонометрических уравнений подходят через тригонометрический круг. В предлагаемом варианте это делается с помощью графиков тригонометрических функций. Используемый способ представляется более привлекательным по двум причинам: 1)последовательность тем «теорема о корне», «обратные тригонометрические функции», «решение простейших тригонометрических уравнений», объединенные идеей монотонности функции естественнно выводят на необходимые формулы; 2)есть хорошая возможность показать это с помощью ИКТ.

Простейшие тригонометрические уравнения: sin x = a cos x = a tg x = a ctg x =a

Разминка – устный счет

Вычислить Правильный ответ:

Вычислить

Правильный ответ: Вычислить

Правильный ответ: Вычислить

Правильный ответ: Вычислить

Правильный ответ: Вычислить

Правильный ответ: Вычислить

Правильный ответ: Вычислить

Правильный ответ:

Вычислить

Правильный ответ: Вычислить

Правильный ответ: Вычислить

Правильный ответ: Вычислить

Правильный ответ: Вычислить

Правильный ответ: Вычислить

Повторение определений arcsin a arccos a arctg a arcсtg a

х у 0 1 Арккосинус а b y=cos x Функция y=cos x убывает на отрезке Для любого в промежутке существует единственный корень b уравнения cos x = a b=arccos a а b а b

х у 0 1 Арксинус а b y=sin x Функция y=sin x возрастает на отрезке Для любого в промежутке существует единственный корень b уравнения sin x = a b=arcsin a а b а b

Арктангенс х у y=tg x а b а b Функция y=tg x возрастает на интервале Для любого числа а на интервале существует единственный корень b уравнения tg x = a b=arctg a и принимает все значения из R

Арккотангенс а b а b x y y=ctg x Функция y=ctg x убывает на интервале Для любого числа а на интервале существует единственный корень b уравнения ctg x = a b=arcctg a и принимает все значения из R

Решение простейшего тригон- кого уравнения cos x = a. |a|1. Рассмотрим 3 этапа: I.x Є [0 ; π ] ; x - ? x=arccos a; π 2π2π 0 -π-π -2π y=a y=cos x

II.x Є [- π ; π ] = T; x - ? x 1 = arccos a; x 2 = - arccos a; Решение простейшего тригон- кого уравнения cos x = a. |a|1. π 2π2π 0 -π-π -2π y=a y=cos x

III.x Є R; x - ? x 1 = arccos a +2πn, n Є Z; x 2 = - arccos a +2πn, n Є Z; или x= ± arccos a +2πn, n Є Z; Решение простейшего тригон- кого уравнения cos x = a. |a|1. π 2π2π 0 -π-π -2π y=a y=cos x

Пример

Решение простейшего тригон- кого уравнения sin x = a. |a|1. Рассмотрим 3 этапа: I.x Є [- π/2 ; π/2 ] ; x - ? x=arcsin a; π 2π2π 0 -π-π -2π y=a y=sin x

II.x Є [- π/2 ; 3π/2 ] = T; x - ? x 1 = arcsin a; x 2 = π - arcsin a; Решение простейшего тригон- кого уравнения sin x = a. |a|1. π 2π2π 0 -π-π -2π y=a y=sin x

III.x Є R; x - ? x 1 = arcsin a +2πn, n Є Z; x 2 = π - arcsin a +2πn = - arcsin a +π(2n+1),nЄZ; или x= (-1) k arcsin a +πk, k Є Z; Решение простейшего тригон- кого уравнения sin x = a. |a|1. π 2π2π 0 -π-π -2π y=a y=sin x

Пример

Решение простейшего тригон-кого уравнения tg x = a. а – любое. Рассмотрим 2 этапа: I.x Є (- π/2 ; π/2 ) ; x - ? x=arctg a; но (- π/2 ; π/2 )=T, то II.x Є R; x= arctg a +πn, n Є Z; Пример: х у y=tg x y=a

Решение простейшего тригон-кого уравнения ctg x = a. а – любое. Рассмотрим 2 этапа: I.x Є (0 ; π) ; x - ? x=arcctg a; но ( 0 ; π )=T, то II.x Є R; x= arcctg a +πn, n Є Z; Пример: y=ctgx y=a

Успехов!!!