Арифметика и геометрия столкновений Работу выполнил ученик 11 а класса Токмаков Тарас

Пусть по прямой движутся п шариков, упру­го сталкиваясь между собой. Может ли между шариками произойти бесконечное число столк­новений или они через некоторое время раз­летятся? Оказывается, эту механическую задачу можно решить с помощью геометрии. Соответствующие конструкции (в частности, придуманное в конце XIX века американ­ским физиком У. Гиббсом конфигурационное пространство) имеют фундаментальное зна­чение и применяются при решении многих задач классической механики и статистиче­ской физики. В этой работе мы ответим на следую­щий вопрос: По прямой двигаются n одинаковых шариков. Какое максимальное число столкновений между ними может произойти? (здесь шарики рассматриваются как материальные точки сталкивающиеся друг с другом абсолютно упруго, то есть с со­хранением суммарных импульса и энергии. Предполагается также, что все происходящие столкновения п а р н ы е: по три и более шариков в одной точке одновременно не оказы­ваются.) (здесь шарики рассматриваются как материальные точки сталкивающиеся друг с другом абсолютно упруго, то есть с со­хранением суммарных импульса и энергии. Предполагается также, что все происходящие столкновения п а р н ы е: по три и более шариков в одной точке одновременно не оказы­ваются.) 1.Условимся скоростью материаль­ной точки при движении по прямой по координатной оси Ох называть величину проекции вектора скорости на ось Ох; таким образом, скорости будут числами (для точки, движущей­ся вправо по оси Ох, скорость v>0, при движении точки влево v 0, при движении точки влево v

Вместо непосредственного решения систе­мы можно заметить, что она имеет не более двух решений, ибо при подста­ новке z2= v1+v2-z1, во второе урав­нение системы получается квадрат­ное уравнение относительно z1; с другой стороны, два решения очевидны это и Первое из них лишено физического смысла: оно означает, что шары про­должают движение с прежними ско­ростями, как бы проскакивая друг через друга. Следовательно, при аб­солютно упругом соударении двух шаров одной массы происходит обмен скоростями: z1= v2 и z2= v1. 2. Этот вывод особенно удобно ин­терпретировать на графиках движе­ния шаров на координатной плоско­сти Otx (t время, х координата по оси Ох). До столкновения шары двигаются по законам х = x1(t) = а1 + v1t и х = x2(t) = а2 + v2t (здесь а1 и а2 начальные координа­ты шаров); их графики движения прямые (точнее отрезки или лучи) на плоскости Otx, с угловыми коэф­фициентами v1 и v2. Моменту соуда­рения шаров соответствует точка пе­ресечения графиков. После соударе­ния графики х = x1(t) и х = x2(t) также являются прямыми.

Поскольку угловой коэффициент первого графи­ка х = x1(t) стал равен z1= v2, то первый график после соударения яв­ляется продолжением второго графи­ка х = x2(t) до соударения; анало­гично, второй график после соуда­рения является продолжением первого графика перед соударением (рис. 1). Отсюда ясно, что совокупность гра­фиков движения п шаров равных масс представляет собой объединение п лучей на плоскости Otx, проведен­ных из начальных положений шаров аi, (при t= 0) с угловыми коэффи­циентами vi; по такой картинке лег­ко проследить график движения х = Xi(t) каждого шара см. рисунок Эти рассмотрения показывают, что максимальное число Nmax соударений n шаров равных масс равно максимальному числу точек попар­ного пересечения n лучей на плоско­сти. Поскольку каждые два луча могут пересекаться только в одной точке, Nmax равно числу пар из п лучей, то есть