Решение уравнений методом оценки Подготовила Рыжова Оксана

Графическая иллюстрация метода: Графическая иллюстрация метода: Дано уравнение f(x)=g(x). Множество значений f(x) от - до а, а g(x) от а до +. Равенство f(x)=g(x) достигается тогда и только тогда, когда f(x)=а g(x)=а Дано уравнение f(x)=g(x). Множество значений f(x) от - до а, а g(x) от а до +. Равенство f(x)=g(x) достигается тогда и только тогда, когда f(x)=а g(x)=а g(x) f(x) x xx yyy ааа х1х1 х2х2 х2х2 хх1х1

4- x 2 -7x+6 = 16+lx-1l+ x 2 +5x-6 >=0 >=0 >=0 = =4 Л.Ч.==4 => => Л.Ч.=П.Ч. П.Ч.=4 16+lx-1l+ x 2 +5x-6=4 (2) (1): x 1 =6; x 2 =1 Проверка: x=6: = 4 – не верно => x=6 - не корень x=1: = 4 – верно => x=1 - корень Ответ: 1 >=0 >=0 >=0 ==4 ==4 Л.Ч.==4 => => Л.Ч.=П.Ч. П.Ч.=4 16+lx-1l+ x 2 +5x-6=4 (2) (1): x 1 =6; x 2 =1 Проверка: x=6: = 4 – не верно => x=6 - не корень x=1: = 4 – верно => x=1 - корень Ответ: 1

x-5 =lx 2 -6x+5l+ 7 >=0 >=0 = = 7 =< 7 Л.Ч.=< 7 Л.Ч= x-5 = 7 (1) П.Ч.>= 7 => => Л.Ч.=П.Ч. П.Ч.= 7 lx 2 -6x+5l+ 7 = 7 (2) (1): 64+ x-5 = 8; x-5 = 0; x=5 – корень Ответ: 5 >=0 >=0 == 7 =< 7 Л.Ч.=< 7 Л.Ч= x-5 = 7 (1) П.Ч.>= 7 => => Л.Ч.=П.Ч. П.Ч.= 7 lx 2 -6x+5l+ 7 = 7 (2) (1): 64+ x-5 = 8; x-5 = 0; x=5 – корень Ответ: 5

2 x +2 -x =2cos(x/2) Оценим Л.Ч. : 2 x +2 -x >=2 – по неравенству Коши. Оценим П.Ч. : -1=x=0 - корень Ответ: 0 Оценим Л.Ч. : 2 x +2 -x >=2 – по неравенству Коши. Оценим П.Ч. : -1=x=0 - корень Ответ: 0 Неравенство Коши: Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. a+b>=2 ab 1 следствие: сумма взаимно обратных положительных чисел больше либо равна двум. 2 следствие: равенство в неравенстве Коши достигается если числа равны, т.е. каждое из них равно 1.

2x 2 +log 2 (15+2x-x 2 )=5+x 4 log 2 (15+2x-x 2 )=5+x 4 - 2x 2 log 2 (16-(1-2x+x 2 ))= x 4 - 2x log 2 (16-(x-1) 2 )=(x 2 -1) 2 +4 >=0 >=0 = =4 = => Л.Ч.=П.Ч. П.Ч.=4 (x 2 -1) 2 +4=4 (2) (2): x=1 или x=-1 Проверка: x=1: log 2 (16-0)=4 – верно => х=1 - корень х=-1: log 2 14=4 – не верно => х=-1 – не корень Ответ: 1 log 2 (15+2x-x 2 )=5+x 4 - 2x 2 log 2 (16-(1-2x+x 2 ))= x 4 - 2x log 2 (16-(x-1) 2 )=(x 2 -1) 2 +4 >=0 >=0 ==4 = => Л.Ч.=П.Ч. П.Ч.=4 (x 2 -1) 2 +4=4 (2) (2): x=1 или x=-1 Проверка: x=1: log 2 (16-0)=4 – верно => х=1 - корень х=-1: log 2 14=4 – не верно => х=-1 – не корень Ответ: 1

log 3 (15+x 2 -7x)+ x 2 -7x+6=2 log 3 (9+(x 2 -7x+6))=2- x 2 -7x+6 ОДЗ: x 2 -7x+6>=0 >=0 >=0 >=9 ==2 ==2 => => => => П.Ч.= x=1; x=6 – решения исходного уравнения Ответ: 1; 6. log 3 (9+(x 2 -7x+6))=2- x 2 -7x+6 ОДЗ: x 2 -7x+6>=0 >=0 >=0 >=9 ==2 ==2 => => => => П.Ч.= x=1; x=6 – решения исходного уравнения Ответ: 1; 6.

6 * 3 x -3 2x-2 =9+3 x log 3 (81+lx 2 -10x+16l) 6 * 3 x -3 2x /9-9=3 x log3(81+lx 2 -10x+16l) l:3 x ; 3 x > 0 6-(3 x /9+9/3 x )=log 3 (81+lx 2 -10x+16l) >=2 >=0 = =81 = =4 Л.Ч.=П.Ч. Л.Ч.=4 3 x /9+9/3 x =2 (1) Л.Ч.= => П.Ч.>=4 П.Ч.=4 log 3 (81+lx 2 -10x+16l)=4 (2) Из (1) по следствию 2 из неравенства Коши => 3 x /9=1; 3 x =9; 3 x =3 2. Т.к. функция y=3 t – монотонна, то: х=2 – подставим в (2): log 3 81=4 – верно => х=2 – корень исходного уравнения Ответ: 2 6 * 3 x -3 2x /9-9=3 x log3(81+lx 2 -10x+16l) l:3 x ; 3 x > 0 6-(3 x /9+9/3 x )=log 3 (81+lx 2 -10x+16l) >=2 >=0 ==81 ==4 Л.Ч.=П.Ч. Л.Ч.=4 3 x /9+9/3 x =2 (1) Л.Ч.= => П.Ч.>=4 П.Ч.=4 log 3 (81+lx 2 -10x+16l)=4 (2) Из (1) по следствию 2 из неравенства Коши => 3 x /9=1; 3 x =9; 3 x =3 2. Т.к. функция y=3 t – монотонна, то: х=2 – подставим в (2): log 3 81=4 – верно => х=2 – корень исходного уравнения Ответ: 2

(x 2 +16/x 2 )(1+sin 2 (x+y))=1+7cos 2 (x+y) Рассмотрим левую часть: (x 2 +16/x 2 )(1+sin 2 (x+y))= =((x-4/x) 2 +8)(1+sin 2 (x+y)) Оценим левую часть: (x-4/x) 2 >=0 (x-4/x) 2 +8>=8 -1=

Аналогично решаются: 6 * 3 х -3 2х-4 =81+3 х log 5 (625+lx 2 -13x+36l) (4) log 6 (45+x 2 -10x)+ x 2 -10x+9 = 2 (1;9) 2x 2 +log 4 (63+2x-x 2 )=4+x 4 (1) 2 x x 2 =2cos(x 2 +x-2) (-2) x-4 =lx 2 -7x+12l+2 2 (4) 10- x 2 -4x-12 = 100+lx-6l + x 2 -9x+18 (6) 6 * 3 х -3 2х-4 =81+3 х log 5 (625+lx 2 -13x+36l) (4) log 6 (45+x 2 -10x)+ x 2 -10x+9 = 2 (1;9) 2x 2 +log 4 (63+2x-x 2 )=4+x 4 (1) 2 x x 2 =2cos(x 2 +x-2) (-2) x-4 =lx 2 -7x+12l+2 2 (4) 10- x 2 -4x-12 = 100+lx-6l + x 2 -9x+18 (6)