Ларькина Галина Александровна учитель математики Муниципальное бюджетное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 91 с углубленным изучением отдельных предметов города Нижнего Новгорода 2012г.

Содержание Теория Угол между прямыми Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями Расстояние от точки до плоскости Расстояние от точки до прямой Расстояние между скрещивающимися прямыми Теория Полезные замечания о методе координат Общий алгоритм решения задач методом координат Основные определения Примеры удобного задания системы координат Задачи Угол между прямыми Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями Расстояние от точки до плоскости Расстояние от точки до прямой Расстояние между скрещивающимися прямыми автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода Тренировочные работы

автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода Тренировочные работы Угол между прямыми Угол между прямой и плоскостью Угол между плоскостями Расстояние от точки до плоскости Расстояние от точки до прямой Расстояние между скрещивающимися прямыми Задачи ЕГЭ С2 Диагностическая работа

Полезные замечания: 1. Любую задачу С2 можно решить методом координат. 2. Метод координат – не единственный метод решения задач С2 3. Метод координат универсален, потому что есть алгоритм решения для любого типа заданий С2. 4. Целесообразно задавать систему координат специальным способом для разных объектов. 5. Целесообразно изображать плоскость Оху и основание геометрического тела в ней отдельно автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода

Общий алгоритм для решения С2 методом координат автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода 1. Ввести прямоугольную систему координат (выбор зависит от объекта). 2. Выписать координаты всех необходимых точек.3. Вычислить координаты необходимых векторов.4. Применить формулу, выполнить вычисления.5. Записать ответ.

Основные определения Определение 1. Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой a, если он лежит либо на прямой a, либо на прямой, параллельной a. a Определение 2. Угол между векторами – это угол между векторами, равными данным и отложенными от одной точки. Угол АОВ – угол между А О В Определение 3. Углом между прямыми в пространстве будем называть острый из вертикальных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным. α автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода

Определение 4. Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость α Определение 5. Угол между плоскостями это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях. Угол между плоскостями равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода

Определение 6. Отрезок, имеющий концы на двух скрещивающихся прямых и перпендикулярный к ним, называется общим перпендикуляром скрещивающихся прямых. Определение 7. расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине общего перпендикуляра скрещивающихся прямых автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода Определение 8. Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Определение 9. Расстояние от точки до плоскости– длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Определение 10. Расстояние между параллельными прямой и плоскостью – длина перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на плоскость. Определение Расстояние между параллельными прямыми (плоскостями)– длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой (плоскости) на другую прямую (плоскость).

Примеры «удобного» задания системы координат для разных объектов Прямоугольный параллелепипед х х y y z автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода

Правильная треугольная призма х y х y z автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода

Правильная шестиугольная призма х y автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода

в правильном треугольнике в правильном шестиугольнике в правильном четырехугольнике Правильная пирамида х y z 1. Начало координат в центре описанной (вписанной) около основания окружности 2. Ось Оz – проходит по высоте пирамиды х y 1 А О ОА =R, где R - радиус описанной окружности автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода

Угол между прямыми (обозначим α) Используем формулу: Где {x 1 ;y 1 ;z 1 } – координаты направляющего вектора первой прямой {x 2 ;y 2 ;z 2 } – координаты направляющего вектора второй прямой Так как угол между прямыми выбираем острый, то косинус положителен К решению примера 1 К решению примера автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода

α β 2. Угол между прямой и плоскостью α - угол между прямой и плоскостью β – угол между прямой и перпендикуляром к плоскости автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода Чтобы найти синус угла между прямой и плоскостью можно найти косинус угла между прямой и перпендикуляром к плоскости

Уравнение плоскости (1) aх+by+cz+d=0 – общий вид уравнения плоскости Т.к. точки принадлежат плоскости, то их координаты удовлетворяют уравнению (1) Составляем и решаем систему уравнений автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода Находим коэффициенты a, b, c, d Через три точки проходит плоскость и притом только одна

Угол между плоскостями автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода Угол между плоскостями равен углу между перпендикулярами к этим плоскостям

Расстояние от точки до прямой автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода Пусть АН – искомое расстояние. А В С Н

Расстояние от точки до плоскости автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода aх+by+cz+d=0 А(х 0,у 0,z 0 )

Расстояние между скрещивающимися прямыми автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода Способ решения А.Правдина – учителя математики Нижегородской области Точки А 1 и В 1 выбираем любые Находим х и у, затем длину АВ

Задача 1 (угол между прямыми) В правильной шестиугольной призме А…F 1, все ребра которой раны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ 1 и ВС 1 1 1/ автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода

Решение задачи 1 1 1/2 Ответ: 0,75 Введем прямоугольную систему координат (см. рисунок) х z у x y Посмотреть формулу автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода

В кубе A...D1 найдите тангенс угла между прямой AC 1 и плоскостью BDD 1. х z у х y АD СВ Задача 2 (угол между прямой и плоскостью) автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода

Введем прямоугольную систему координат (см. рисунок) х y АD СВ х z у А(1;0;0) С(0;1;0) С 1 (0;1;1) Пусть α – искомый угол) Посмотреть формулу Решение задачи автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода

Задача 3.Угол между плоскостями В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус двугранного угла, образованного гранями SBC и SCD. х z у х y АВ СD Введем прямоугольную систему координат (см.рис.) Найдем угол между перпендикулярами к плоскостям SBC и SCD. Обозначим искомый угол α. Составим уравнения плоскостей автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода О

Решение задачи 3 (1) aх+by+cz+d=0 – общий вид уравнения плоскости Т.к. точки S,B,C принадлежат плоскости SBC, то их координаты удовлетворяют уравнению (1) Составим и решим систему уравнений х z у Неизвестных 4, уравнений 3 Пусть d= автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода

Решение задачи 3(продолжение) Аналогично найдем координаты Вектора, перпендикулярного плоскости SCD х z у автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода

Задача 4 (Расстояние от точки до прямой) автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки F до Прямой BG, где G – середина ребра SC х z у

Задача 5 (Расстояние от точки до плоскости) автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода В единичном кубе А…D 1 найдите расстояние от точки А до плоскости ВDA 1 х z у Решение: Введем прямоугольную систему координат

Задача 6 (Расстояние от точки до плоскости) автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки А до плоскости SBC. х z у O

Задача 6 (Расстояние между скрещивающимися прямыми) автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода В единичном кубе А…D 1 найдите расстояние от АD 1 до A 1 C 1 х z у Пусть NM- общий перпендикуляр прямых АD 1 и A 1 C 1 N M A A1A1

Тренировочная работа Угол между прямыми

Тренировочная работа Угол между прямой и плоскостью

Тренировочная работа Угол между двумя плоскостями

Тренировочная работа Расстояние от точки до прямой

Тренировочная работа Расстояние от точки до плоскости

Тренировочная работа Расстояние между двумя прямыми

Разные задачи С

Диагностическая работа С

автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода

Ответы к диагностической работе автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода

Литература ЕГЭ 2010.Математика. Задача С2. Смирнов В.А./Под ред. А.Л.Семенова и И.В.Ященко. М.:МЦНМО, 2010 ЕГЭ Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся. Авт.-сост. Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д. и др. /ФИПИ- М.; Интеллект- Центр, Некоторые рисунки из ресурсов Интернета автор презентации - Г.А.Ларькина -учитель школы91 города Нижнего Новгорода