Функции, их графики. Практическое применение.

I.Элементарные функции. У=kx+b У= log a X У=ax 2 +bx+c У= sin x У=Х 3 У= соs x У= х У= tg x K У= сtg x У= Х У=а х

Для успешного построения эскиза графика сложной функции нужно хорошо знать свойства и графики элементарных функций, уметь читать графики функций и решать графически простейшие уравнения и неравенства.

У=kx+b, k>0 Х У 0 В В=0 В0 0 Х У 0 В В=0 0 У=kx+b, k

Х У 0 У=х Х У 0 k У=, k>0 Х Х У 0 k У=, k

У=а х,а>1 У=а х,0

У= sin x 1 ¶ /2 -¶ /2 0 X У 1 ¶ /2 -¶ /2 0 X У 0 У=cos х 1 ¶ /2-¶ /2 0 X У 1 ¶ /2-¶ /2 0 X У X У= tg x У= сtg x

II. Общий способ построения графика функции У=f (g(x)) Y=f (x) Y=g (x) Y= x x А B CD g (x) O X У O( x;0 ) A ( x ;g (x) ) B ( g (x) ;g (x) ) C ( g (x) ;f (g (x)) ) D ( x; f (g (x)) ) Точка D лежит на графике функции У= f (g(x))

III.Графики функций: А)f 2 (x) Б)f (x) В)log a (f(x))

А)f (x)=(2х 2 +4х+1) 2 Построим график функции f (x)=(2х 2 +4х+1) Если f (x)=-1 то f 2 (x)=1 Если f (x)=3 то f 2 (x)=9 Если f (x)=0 то f 2 (x)=0 Если -1f (x)

f (x)=(log 2 X) х У У=(log 2 X) Построим график функции у =f (x) Если f (x)=1, то f 2 (x)=1 Если f (x)=2, то f 2 (x)=4 Если f (x)=-1, то f 2 (x)=1 Если -1f (x)

Б)Б) 1 4 Построим график функции f (x) = log 2 x Там где f (x)0 точек графика функции (f (x)) не будет При f (x)=1 (f (x))=0 При f (x)=4 (f (x))=2 При х+ (f (x)) + При 0

f (x)= (х 2 -4) Построим график функции f (x)= х 2 -4 Там где f (x)

В) У= log 2 (x 2 -4x+2) Построим график функции f (x)=x 2 -4x+2 На промежутке, где f (x)0, точек графика функции log 2 (f (x)) не будет. При f (x)=2 log 2 (f (x)) = 1 При f (x)=1 log 2 (f (x)) = 0 При x>x 0 f (x) возрастает, тогда log 2 (f (x)) возрастает. При х

f (x)=log 2 cosX Построим график функции f (x)=cosX На промежутке, где f (x)0, точек графика функции log 2 (f (x)) не будет Если f (x)=1 то log 2 (f (x))=0 Если f (x)0 то log 2 (f (x))- 1 ¶ /2-¶ /2 0 X У f (x)=log 2 cosX

III. Инверсия Точка В называется инвертной точке А относительно данной прямой (оси) L, если: 1)эти точки лежат по одну сторону от оси L 2)отрезок, их соединяющий перпендикулярен оси L 3)произведение расстояний от этих точек до L равно 1. Преобразование плоскости, при котором каждая точка переходит в инвертную ей относительно данной прямой,называется инверсией.

Теоремы инверсии. Теорема 1 График функции g (x)= 1/(f(x)) получается из графика функции у = f (x) инверсией относительно оси ОХ. Теорема 2 График функции g (x)= f(1/x) получается из графика функции у = f (x) инверсией относительно оси ОУ.

У = 1/(lхl) Построим график функции f (x) =lXl График функции f (x) =1/(lхl) получается из графика функции У=lXl инверсией относительно оси ОХ А(-1;1) и В (1;1) являются неподвижными точками инверсии. Если f (x) =1 то У(х) =1. Чем дальше точки графика функции f (x) =lXl от оси ОХ тем ближе точки графика функции У = 1/(lхl) Чем ближе точки графика функции f (x) =lXl от оси ОХ тем дальше точки графика функции У = 1/(lхl) x у 01 1 f (x) 1/(f (x)) АВ

У = ((2x+3)/(x+2)) Построим график функции f (x)= (2-х) График функции g (x)= ((2-1/х)) получается из графика функции f (x) инверсией относительно оси ОУ График функции v (x)= ((2-1/(х+2)) получается из графика функции g (x) параллельным переносом вдоль оси ОХ на 2 единицы влево. v (x) – искомый график. Преобразуем выражение, задающее функцию. У= ((2-1/(х+2)) х f (x) g (x) v (x) 2 0 У

IV. Решения задач с помощью построения графиков функций.

Найти все х удовлетворяющие неравенству. (log 2 (8-x)) 3 3x-4 Построим графики функций f (x)= (log 2 (8-x)) 3 и g (x)=3x-4 в одной системе координат. 4 8 х У g (x) f (x) Из графика видно, что решением данного неравенства является промежуток [4;+) Ответ. [4;+)

Найти решения неравенства 3 (х-2)+(х+1)3 Запишем данное неравенство в виде 3 (х-2) 3-(х+1) Построим графики функций f (x)= 3 (х-2) и g (x) = 3-(х+1) х У 0 Из графика видно, что решением данного неравенства являются все х из промежутка [3;+) Ответ. [3;+) f (x) g (x)

Решите уравнение log 3 (3 x -8)= 2-x Построим графики функций f (x)= log 3 (3 x -8) и g (x)= 2-x х У Из графика видно что единственн ым корнем уравнения является х=2. Ответ.х=2 f (x) g (x)

Найдите наибольшее целое решение неравенства log 3 (13-4 x )>2 0 x У Построим графики функций f (x)= log 3 (13-4 x ) и g (x)=2 Из графика видно,что решением неравенства является промежуток (-;а), где 0

Решить уравнение Log 2 x 2 =8-lxl Построим графики функций f (x) =Log 2 x 2 и g (x)=8-lxl х У f (x) =Log 2 x 2 g (x)=8-lxl 4 4 Из графика видно решением данного уравнения является х=4. Ответ.4 1 1

Решить уравнение = 1-5 х У Х 5 Построим графики функций f (x)= и g (x)= 1-5 х+1 f (x) g (x) Из графика видно решением данного уравнения является х=-1. Ответ. -1

Дано уравнение (а-1)х 2 -4(а-1)х+3а-4=0 При каких значениях а : А)уравнение не имеет решения Б)уравнение имеет корни разных знаков В)уравнение имеет корень больший 6 Г)уравнение имеет корень из отрезка [-1;2]

Преобразуем уравнение к виду а(х 2 -4х+3)=х 2 -4х+4 А)Так как есть точки графика с любыми ординатами, кроме принадлежащих промежутку (0;1], то данное уравнение не имеет решений при всех а из промежутка (0;1]. Б) Найдём а(0)=4/3, а(6)=16/15, а(-1)=9/8. Из графика видно, что прямые а =const, параллельные оси ОХ, пересекают график в точках с абсциссами разных знаков только при а из промежутка (1;4/3). В)Из графика видно, что уравнение имеет корень, больший 6, при а из промежутка (1; 16/15), Г)Из графика видно, что уравнение имеет корень из [-1;2] при а из промежутка (-;0] [9/8;+). Рассмотрим функцию а = (х 2 -4х+4)/(х 2 -4х+3), т.е а=1+1/(х 2 -4х+3) и построим её график. х а