Исаак Ньютон 25 декабря марта 1727 английский физик, математик и астроном, один из создателей классической физики. Автор фундаментального труда « Математические начала натуральной философии », в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисление, теорию цвета и многие другие математические и физические теории. Исаак Ньютон 25 декабря марта 1727 английский физик, математик и астроном, один из создателей классической физики. Автор фундаментального труда « Математические начала натуральной философии », в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисление, теорию цвета и многие другие математические и физические теории.25 декабря марта1727 английский физик математик астроном Математические начала натуральной философии закон всемирного тяготения три закона механики классической механики дифференциальное и интегральное исчисление цвета25 декабря марта1727 английский физик математик астроном Математические начала натуральной философии закон всемирного тяготения три закона механики классической механики дифференциальное и интегральное исчисление цвета

Метод Ньютона, алгоритм Ньютона ( также известный как метод касательных ) это итерационный численный метод нахождения корня ( нуля ) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном ( ), под именем которого и обрёл свою известность. Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства. Метод Ньютона, алгоритм Ньютона ( также известный как метод касательных ) это итерационный численный метод нахождения корня ( нуля ) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном ( ), под именем которого и обрёл свою известность. Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства. численный метод функции физиком математиком астрономом Исааком Ньютоном простой итерации сходимостью метод хорд и касательных задач оптимизации производной градиента численный метод функции физиком математиком астрономом Исааком Ньютоном простой итерации сходимостью метод хорд и касательных задач оптимизации производной градиента

История создания Метод был описан Исааком Ньютоном в рукописи « Об анализе уравнениями бесконечных рядов » ( лат. «De analysi per aequationes numero terminorum infinitas»), адресованной в 1669 году Барроу, и в работе « Метод флюксий и бесконечные ряды » ( лат. «De metodis fluxionum et serierum infinitarum») или « Аналитическая геометрия » ( лат. «Geometria analytica») в собраниях трудов Ньютона, которая была написана в 1671 году. В своих работах Ньютон вводит такие понятия, как разложение функции в ряд, бесконечно малые и флюксии ( производные в нынешнем понимании ). Указанные работы были изданы значительно позднее : первая вышла в свет в 1711 году благодаря Уильяму Джонсону, вторая была издана Джоном Кользоном в 1736 году уже после смерти создателя. Однако описание метода существенно отличалось от его нынешнего изложения : Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам. Он вычислял не последовательные приближения xn, а последовательность полиномов и в результате получал приближённое решение x. Исааком Ньютоном лат.1669 году Барроу лат. лат.1671 году функции ряд бесконечно малые производные1711 году Уильяму Джонсону Джоном Кользоном1736 году полиномам

Впервые метод был опубликован в трактате « Алгебра » Джона Валлиса в 1685 году, по просьбе которого он был кратко описан самим Ньютоном. В 1690 году Джозеф Рафсон опубликовал упрощённое описание в работе « Общий анализ уравнений » ( лат. «Analysis aequationum universalis»). Рафсон рассматривал метод Ньютона как чисто алгебраический и ограничил его применение полиномами, однако при этом он описал метод на основе последовательных приближений x n вместо более трудной для понимания последовательности полиномов, использованной Ньютоном. Наконец, в 1740 году метод Ньютона был описан Томасом Симпсоном как итеративный метод первого порядка решения нелинейных уравнений с использованием производной в том виде, в котором он излагается здесь. В той же публикации Симпсон обобщил метод на случай системы из двух уравнений и отметил, что метод Ньютона также может быть применён для решения задач оптимизации путём нахождения нуля производной или градиента. Джона Валлиса 1685 году 1690 году Джозеф Рафсон лат году Томасом Симпсоном задач оптимизации производной градиента В 1879 году Артур Кэли в работе « Проблема комплексных чисел Ньютона Фурье » ( англ. «The Newton-Fourier imaginary problem») был первым, кто отметил трудности в обобщении метода Ньютона на случай мнимых корней полиномов степени выше второй и комплексных начальных приближений. Эта работа открыла путь к изучению теории фракталов.1879 году Артур Кэли англ. мнимых корней теории фракталов

Суть метода Суть метода В целях уменьшения числа обращений к значениям производной функции применяют так называемый метод одной касательной. производной Формула итераций этого метода имеет вид : Суть метода заключается в том, чтобы вычислять производную лишь один раз, в точке начального приближения x 0, а затем использовать это значение на каждой последующей итерации : При таком выборе α 0 в точке x 0 выполнено равенство : и если отрезок, на котором предполагается наличие корня x * и выбрано начальное приближение x 0, достаточно мал, а производная φ (x) непрерывна, то значение φ (x * ) будет не сильно отличаться от φ (x 0 )=0 и, следовательно, график y= φ (x) пройдёт почти горизонтально, пересекая прямую y=x, что в свою очередь обеспечит быструю сходимость последовательности точек приближений к корню. сходимость последовательности x i+1 =x i +f(x i )/f(x i )

Пример : Составить программу, которая вычисляет следующее уравнение f(x)=2x+lg(2x+3) и выводит на экран результат c точностью ε = Составить программу, которая вычисляет следующее уравнение f(x)=2x+lg(2x+3) и выводит на экран результат c точностью ε =10 -4.

Program Niyton; uses crt; function F(x : real):real; begin F:=2*x+ln(2*x+3); end; function F1(x : real):real; begin F1:=(2+(1/(2*x+3)))*2; end; { вычисление функции } { вычисление производной функции }

function Newton(x1,e:real):real; var x2,c:real; begin x2:=x1; repeat c:=x2; x2:=c-F(c)/F1(c); until abs(x2-c)

{ Главная программа } var c,eps : real; begin clrscr; eps:=0.0001; write('Vvedite nachalnoe priblizenie c='); readln(c); write('X=',Newton(c,eps):0:4); readln end. { Главная программа } var c,eps : real; begin clrscr; eps:=0.0001; write('Vvedite nachalnoe priblizenie c='); readln(c); write('X=',Newton(c,eps):0:4); readln end.

Компилируем программу и запускаем на выполнение.

Результаты работы программы