Общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 23 г. Сызрани Самарской области Учитель: Башканова Учитель: Башканова Нина Нина Владимировна Владимировна

Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия.

Цели: 1.Записать формулу нахождения п –го члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии. 2.Записать формулу нахождения п –го члена и суммы п первых членов геометрической прогрессии. 3.Сравнить арифметическую и геометрическую прогрессии. 4.Составить алгоритм сравнения прогрессий.

«Прогрессия» - латинское слово, означающее «движение вперёд», было введено римским автором Боэцием (VI век) и понималось в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность.

Ответьте на вопросы 1.Какая последовательность чисел называется арифметической прогрессией. 2.По какой формуле находится п - ый член арифметической прогрессии. (ответ записать и сравнить с формулой на экране)

Ты молодец, если твоя формула выглядит так: а п = а 1 + d( п – 1)

Ответьте на вопросы 1.Какая последовательность чисел называется геометрической прогрессией. 2.По какой формуле находится п член геометрической прогрессии. (ответ записать и сравнить с формулой на экране)

Ты молодец, если твоя формула выглядит так: в п = в 1 q п-1

Составьте формулу п - го члена прогрессии и найдите неизвестный член а 1 и d а) а 1 = 3; d = 2 3; 5; 7; 9;… б) а 20 - ? в 1 и q а) в 1 = 1; q = 2 1; 2; 4; 8; 16; … б) в 10 - ?

Используя данные задачи, изобразите графически две зависимости п – го члена от порядкового номера.

Сравните полученные графики прогрессий.

Разность двух рядом стоящих членов остаётся одна и та же, вследствие чего члены прогрессии возрастают (убывают) равномерно Разность двух соседних членов увеличивается по мере удаления их от начала ряда: вследствие этого, члены такой прогрессии, по мере их удаления от начала ряда, возрастают всё быстрее и быстрее, что наглядно изображено на рисунке.

Ответьте на вопрос и запишите в тетрадях По каким формулам вычисляется сумма п первых членов арифметической и геометрической прогрессий?

Геометрическая прогрессияАрифметическая прогрессия Ты молодец, если твои формулы записаны так

Сумма п первых членов Немецкий математик К. Гаусс (1777 – 1855г.г.) ещё в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту. Сообразив, что 1+100=2+99 …, он умножил 101 и 50. Иначе говоря, он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии. Древняя индийская легенда рассказывает, что изобретатель шахмат попросил в награду за своё изобретение столько пшеничных зёрен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – в 2 раза больше, т. е. 2 зерна, на третью - ещё в 2 раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64-й клетки. Сколько зёрен должен был получить изобретатель шахмат? Число зёрен, о которых идёт речь, является суммой шестидесяти четырёх членов геометрической прогрессии, первый член которой 1, а знаменатель равен 2. S = 2 64 – 1 Можно подсчитать, что масса такого числа пшеничных зёрен больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Характеристическое свойство Найти среднее арифметическое чисел 2 и 8. Записать найденное число с данными в порядке возрастания. Найти среднее геометрическое чисел 2 и 8. Записать найденное число с данными в порядке возрастания.

Образуют ли эти числа арифметическую прогрессию? 2, 5, 8. Образуют ли эти числа геометрическую прогрессию? 2, 4, 8.

Справедлива ли эта зависимость для трёх последовательных членов рассматриваемых последовательностей. 3, 5, 7, 9, 11, … 1, 2, 4, 8, 16, …

Докажите, что для прогрессий справедлива закономерность. в 2 п +1 = в п в п+2

Если ты доказал так, то ты молодец! а п+1 – а п = а п+2 – а п+1 2а п+1 = а п+2 + а п а п+1 = ( а п+2 + а п )/ 2 в п+1 : в п = в п+2 : в п+1 в 2 п+1 = в п * в п+2

Следствие Из определения разности следует, что а 1 + а п = а 2 + а п -1 = …, то есть сумма членов, равноудалённых от концов прогрессии, есть величина постоянная. Из определения знаменателя следует, что в 1 в п = в 2 в п-1 = …, то есть произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при Один из «парадоксов Зенона» (древнегреческого философа) состоит в следующем: …Ахиллес никогда не догонит черепаху, несмотря на то, что идёт в десять раз скорее черепахи: как только Ахиллес пройдёт пространство, отделяющее его от черепахи, черепаха пройдёт впереди его одну десятую этого пространства; Ахиллес пройдёт эту десятую, черепаха пройдёт одну сотую и т.д. до бесконечности. Задача представлялась древним неразрешимой. Отрезки, последовательно пробегаемые Ахиллесом, составляют геометрическую прогрессию со знаменателем 0,1. Общее расстояние, пройденное Ахиллесом до встречи с черепахой, есть «сумма бесконечного числа членов»: 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + …Обозначим сумму через S, тогда 10S = ,1 + 0,01 +…=10 + S, тогда S = 10/9 S = < 1

Ответьте на вопросы 1)По какому плану (алгоритму) сравнивали изучаемые понятия «Арифметическая и геометрическая прогрессии»? 2)Укажите их общие существенные признаки. 3)Определите существенные различия между ними. 4)Сделайте вывод из сравнения.

Домашнее задание: Задачник по алгебре для 9 класса под ред. А. Г. Мордковича 443, 505. Учебник по алгебре для 9 класса под ред. А. Г. Мордковича п.15,16. Исторические сведения о прогрессиях ( по желанию выступление или доклад)