Производная Решение прикладных задач

Фрагмент рассказа Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно» о крестьянине Пахоме, покупавшему землю у башкир

Участок земли Пахома

Цели урока: углубление понимания сущности производной путем применения её для получения новых знаний; установление межпредметных связей

Девиз урока В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления В.П. Ермаков

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. Какие точки называются критическими? Этапы работы с моделью.

953 а Периметр прямоугольника равен 56 см. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы площадь была наибольшей?

I этап. Составление математической модели. Оптимизируемая величина (О.В.) – площадь, S. Площадь зависит от длины и ширины. Объявим независимой переменной (Н.П.) – длину прямоугольника и обозначим её за х, (28-х) – ширина прямоугольника, тогда 0 < x < 28 - реальные границы изменений независимой переменной. Записываем функцию: S(x) = x(28-x) Математическая модель составлена.

II этап. Работа с составленной моделью На этом этапе для функции S(x) хЄ(0;28) надо найти Sнаиб Воспользуемся алгоритмом нахождения наибольшего и наименьшего значения:

Заданному интервалу точка принадлежит. Свое наибольшее значение функция S(x) = x(28-x) достигает при х=14 и Sнаиб = 196

III этап. Ответ на вопрос задачи Мы выяснили, что длина участка, имеющего наибольшую площадь равна 14, ширина равна 14.

А теперь вернемся к задаче, с которой мы начали урок. Значит какую фигуру Пахом должен был обойти? Р = 40км, а = 10км, Значит Sнаиб = 100кв.км.

Для конструкторского бюро строится комната в форме прямоугольного параллелепипеда, одна из стен которой должна быть сделана из стекла, а остальные из обычного материала. Высота комнаты должна быть 4м., а площадь 80 кв.м. Известно, что 1 кв.м. стеклянной стены стоит 75 рублей, а из обычного материала 50 рублей. Какими должны быть размеры комнаты, чтобы общая стоимость всех стен была наименьшей?

I этап. Моделирование. S (ABCD) = ab = 80 S(A.B.C.D.) = ah = 4a Найдем стоимость стены AA.BB.: P(AA.BB.) = 75*4a = 300a S(AA.DD.) = bh = 4b, тогда Р(AA.DD.) = 200b S(BB.CC.) = bh = 4b, тогда Р(BB.CC.) = 200b S(CC.DD.) = ah = 4a, тогда Р(CC.DD.) = 50*4а = 200а

Общая стоимость всех стен Р1= 300а + 400b + 200а = 500а + 400b, aЄ(0;80/b] Математическая задача: исследовать функцию на наименьшее значение на заданном промежутке.

II этап. Работа с математической моделью.

III этап. Ответ на вопрос задачи Ширина стеклянной стены должна быть равна 8м, а обычной 10м. При таких размерах общая стоимость всех стен окажется наименьшей и равной 8000 рублей

Домашнее задание 952а, 953б, 954а