Обучающая презентация по решению задач на теорию вероятности Подготовка к ГИА и ЕГЭ Учитель математики МАОУ « Лицей 62» Воеводина Ольга Анатольевна

Общая схема решения задач 1.Определить, в чем состоит случайный эксперимент и какие у него элементарные события (исходы). Убедиться, что они равновозможны. 2.Найти общее число элементарных событий N. 3.Определить, какие элементарные события благоприятствуют интересующему нас событию А, и найти их число N(А). 4. Найти вероятность события А по формуле P(A)=

Справочные материалы Элементарные события (элементарные исходы) – это простейшие события, которыми может окончиться случайный опыт. Сумма вероятностей всех элементарных событий опыта равна 1. Вероятность события А равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию. Объединение событий - событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующи х хотя бы одному из событий А и В.

Справочные материалы Пересечение событий- это событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям А и В. Несовместные события – события, которые не наступают в одном опыте. Противоположные события – те, которые состоят из тех и только тех элементарных исходов опыта, которые не входят в А и обозначаются Независимые события. События А и В называются независимыми, если

Вася, Петя, Коля, Леша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя. Решение. 1. Случайный эксперимент – бросание жребия. 2. Элементарное событие в этом эксперименте - участник, который выиграл жребий. Перечислим их: (Вася), (Петя), (Коля), (Леша). Общее число элементарных событий N=4. Жребий подразумевает, что элементарные события равновозможны. 3. Событию А={жребий выиграл Петя} благоприятствует только одно элементарное событие (Петя). Поэтому N(A)=1. 4. Тогда Р(А)=1/4=0,25 Ответ: 0,25.

Игральный кубик (кость) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, большее чем 4? Решение. 1.Случайный эксперимент – бросание кубика. 2. Элементарное событие – число на выпавшей грани. Граней всего 6, то есть N=6. 3.Событию А ={выпало больше чем 4} благоприятствуют два элементарных события: 5 и 6. 4.Поэтому N(A)=2. 5.Все элементарные события равновозможны, поэтому Р(А)=2/6=1/3. Ответ: 1/3.

В случайном эксперименте монету бросили три раза. Какова вероятность того, что орел выпал ровно два раза? Решение. 1.Орел обозначим буквой О, решку – буквой Р. Элементарные исходы – тройки, составленные из букв О и Р. 1.Выпишем их все: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР 3. Всего исходов 8. Значит N=8. 4. Событию А={орел выпал ровно два раза}, благоприятствуют элементарные события ООР, ОРО, РОО, поэтому N(A)=3. 5. Тогда Р(А)=3/8=0,375 Ответ. 0,375

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Решение. 1.Орел обозначим буквой О, решку – буквой Р. 2. Выпишем элементарные исходы: ОО, ОР, РО, РР. Значит N=4. 3. Событию А={выпал ровно один орел} Благоприятствуют элементарные события ОР и РО. Поэтому N(A)=2. 4. Тогда Р(А)=2/4=0,5. Ответ. 0,5

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции, 5 – из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции. Решение. 1.Элементарный исход – спортсмен, который выступает последним. Последним может оказаться любой. Всего спортсменов 25, то есть N=25. 2.Событию А={последний из Швеции} благоприятствуют только девять исходов, поэтому N(A)=9, тогда Р(А)=9/25=0,36. Ответ. 0,36.

Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых. Решение. 1.Результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле», «попал при втором выстреле» и т.д. независимы. 2. Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит вероятность промаха равна 1-0,8=0,2. 3. По формуле умножения вероятностей независимых событий, получаем, что последовательность А={попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся} имеет вероятность Р(А)=0,8*0,8*0,8*0,2*0,2=0,20480,02 Ответ. 0,02

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,1. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо. Решение. 1.Событие А ={выбранная ручка пишет хорошо} 2.Тогда вероятность противоположного события: 3. Используем формулу вероятности противоположного события: Ответ. 0,9

На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему: «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Решение. 1.Определим события: А={вопрос на тему «Вписанная окружность} В={вопрос на тему «Параллелограмм»} 2. События А и В несовместны, так как по условию в списке нет вопросов, относящихся к этим двум темам одновременно.

На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему: «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. 3. Событие С={вопрос по одной из этих двух тем} является их объединением: 4. Применим формулу сложения вероятностей несовместных событий: Р(С)=Р(А)+Р(В)=0,2+0,15=0,35 Ответ. 0,35

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение. 1.Определим события: А={кофе закончится в первом автомате} В={кофе закончится во втором автомате} По условию задачи Р(А)=Р(В)=0,3 и 2. По формуле сложения вероятностей найдем вероятность события:

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. { кофе закончится хотя бы в одном из автоматов } =0,3+0,3-0,12=0,48 Следовательно, вероятность противоположного события «кофе останется в обоих автоматах» равна 1-0,48=0,52. Ответ. 0,52 =Р(А)+Р(В) –=

В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. Решение. 1.Найдем вероятность противоположного события: ={оба автомата неисправны } 2. Для этого используем формулу умножения вероятностей независимых событий : 3.Значит вероятность события А={хотя бы один автомат исправен} равна: Р(А)=1 – 0,0025=0,9975. Ответ. 0,9975

В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе? Решение. 1.Элементарный исход – карточка, выбранная капитаном российской команды, значит N= Событию А={команда России во второй группе} благоприятствуют четыре карточки с номером «2», то есть N(А)=4. 3. Тогда Р(А)=4/16=0,25. Ответ. 0,25

Три друга А., Б., и В. летят на самолете. При регистрации им достались три кресла подряд, и друзья заняли их в случайном порядке. Найдите вероятность того, что А. сидит рядом с Б. Решение. 1.Перечислим число элементарных событий: АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА. N=6. Элементарные события равновозможны. 2.Событию А={А. сидит рядом с Б.} благоприятствуют четыре события, поэтому N(А)=4. 3. Тогда Р(А)=4/6=2/3. Ответ. 2/3

На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра окажется четной? Решение. 1. Общее число элементарных событий равно Все события равновозможны, Событию А={цифра окажется четной} благоприятствуют цифры 0, 2, 4, 6, 8, поэтому N(А)=5. 3. Тогда Р(А)=5/10=0,5. Ответ. 0,5

Учитель нарисовал на доске квадрат ABCD и предлагает учащемуся выбрать две вершины. Сколько элементарных событий в этом опыте? Решение. 1.Элементарное событие в этом эксперименте – учащийся выбрал две вершины. 2.Перечислим их: AB, AC, AD, BC, BD, CD. 3.Общее число элементарных событий равно 6, то есть N=6. Ответ. 6 А ВС D

Литература И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко ЕГЭ Математика Задача В 10. Теория вероятностей