Треугольники Москва, 2013

Проверим ваши знания: 1)Определение треугольника. 2)Виды треугольников. 3) Свойства прямоугольного треугольника. 4) Свойства равнобедренного треугольника. 5)Теорема синусов. 6)Теорема косинусов. Москва, 2013

Из истории математики Прямоугольный треугольник занимает почётное место в вавилонской геометрии, упоминание о нём часто встречается в папирусе Ахмеса.папирусе Ахмеса Термин гипотенуза происходит от греческого hypoteinsa, означающего тянущаяся под чем либо, стягивающая. Слово берёт начало от образа древнеегипетских арф, на которых струны натягивались на концы двух взаимно перпендикулярных подставок. Термин катет происходит от греческого слова «катетос », которое означало отвес, перпендикуляр. В средние века словом катет означали высоту прямоугольного треугольника, в то время, как другие его стороны называли гипотенузой, соответственно основанием. В XVII веке слово катет начинает применяться в современном смысле и широко распространяется, начиная с XVIII века. ЕвклидЕвклид употребляет выражения: «стороны, заключающие прямой угол», - для катетов; «сторона, стягивающая прямой угол», - для гипотенузы. Москва, 2013

Треугольникибывают Треугольники бывают Равносторонние (правильные) Равносторонние (правильные) Прямоугольные Равнобедренные Москва, 2013

Равносторонние Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним (или правильным) треугольником. Свойства равностороннего треугольника: 1)Все углы равны (каждый угол равен 60 ); 2) Каждая из трех высот является также биссектрисой и медианой; 3) Центр окружности, описанной около треугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в него. Кроме того, равносторонний треугольник, как частный вид правильного многоугольника, имеет все свойства правильного многоугольника. Москва, 2013

Прямоугольный треугольник Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. А В С Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие – катетами. Если даны две стороны прямоугольного треугольника, то третья сторона может быть вычислена по теореме Пифагора. Острые углы определяются по формулам тригонометрических функций острого угла Синус угла, Косинус угла, Тангенс угла, Котангенс угла.теореме ПифагораСинус угла, Косинус угла, Тангенс угла, Котангенс угла. Москва, 2013

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90° Доказательство: Сумма углов треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90°, поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. С=90 С=90 А+ В=90 А+ В=90 Москва, 2013

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Доказательство: Д 60° 30° А С В 60° Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник АВД. Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором A -прямой, B =30° и значит, C=60°. Докажем, что AC =½ BC. Получим треугольник ВСД, в котором В= Д=60°, поэтому ДС=ВС. Но АС=½ДС. Следовательно, AC =½ BC, что и требовалось доказать. Москва, 2013

Доказательство: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. Д С В А Приложим к треугольнику АВС равный ему треугольник АВД. Получим равносторонний треугольник ВСД. Углы равностороннего треугольника равны друг другу, поэтому каждый из них равен 60°. В частности, ДВС=60°. Но ДВС=2 АВС. Следовательно, АВС=30°, что и требовалось доказать. Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого катет АС равен половине гипотенузы ВС. Докажем, что АВС=30° Москва, 2013

В прямоугольном равнобедренном треугольнике острые углы равны 45. С = 90 АС=ВС А=45 В=45 А В С Москва, 2013

Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза высотой. С А Н В Москва, 2013

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла. С А Н В Москва, 2013

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Москва, 2013

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике это отношение противолежащего катета к гипотенузе: Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике отношение прилежащего катета к гипотенузе: Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике отношение противолежащего катета к прилежащему: Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу): Москва, 2013

Признаки равенства прямоугольных треугольников 1.Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны. 2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники равны. 3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны. 4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны. Доказательство Москва, 2013

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны. Дано: Доказать: Доказательство: В А А1А1 С С1С1 В1В1 АВС – прямоугольный, А 1 В 1 С 1 – прямоугольный, ВС = В 1 С 1, АС = А 1 С 1. АВС = А 1 В 1 С 1 следует из первого признака равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Москва, 2013

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему углу другого, то такие треугольники равны. В А А1А1 С С1С1 В1В1 Дано: Доказать: Доказательство: следует из второго признака равенства треугольников (по стороне и прилежащим к ней углам) АВС – прямоугольный, А 1 В 1 С 1 – прямоугольный, АС = А 1 С 1, АВС = А 1 В 1 С 1 Москва, 2013

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны. В А А1А1 С С1С1 В1В1 Дано: Доказать: Доказательство: т.к. сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то два других острых угла также равны, АВС = А 1 В 1 С 1 АВС – прямоугольный, А 1 В 1 С 1 – прямоугольный, АВ = А 1 В 1, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилежащим к ней углам). поэтому треугольники равны Москва, 2013

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны. В А А1А1 С С1С1 В1В1 Дано: Доказать: Доказательство: АВС = А 1 В 1 С 1 АВС – прямоугольный, А 1 В 1 С 1 – прямоугольный, АВ = А 1 В 1, АС = А 1 С 1. Наложим А 1 В 1 С 1 на треугольник АВС. Т.к. АС = А 1 С 1 и АВ = А 1 В 1, то они при наложении совпадут. Тогда вершина А 1 совместиться с вершиной А. Но и тогда и вершины В 1 и В также совместятся. Следовательно, треугольники равны. Москва, 2013

Равнобедренные Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. (Доказательство)Доказательство Свойство медианы равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. (Доказательство )Доказательство Москва, 2013

Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB. Рассмотрим Δ BAC. По первому признаку эти треугольники равны. Действительно, AC = BC; BC = AC; C = C. Отсюда следует A = B как соответствующие углы равных треугольников. Теорема доказана. Пусть Δ ABC – равнобедренный с основанием AB, и CD – медиана, проведенная к основанию. В треугольниках CAD и CBD углы CAD и CBD равны, как углы при основании равнобедренного треугольника (по теореме 4.3), стороны AC и BC равны по определению равнобедренного треугольника, стороны AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB. Отсюда получаем, что Δ ACD = Δ BCD. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ACD = BCD, ADC = BDC. Из первого равенства следует, что CD – биссектриса. Углы ADC и BDC смежные, и в силу второго равенства они прямые, поэтому CD – высота треугольника. Теорема доказана. Москва, 2013

Признаки равнобедренного треугольника. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. (Доказательство) Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный. (Доказательство) Москва, 2013

Пусть Δ ABC – треугольник, в котором A = B. Δ ABC равен Δ BAC по второму признаку равенства треугольников. Действительно: AB = BA; B = A; A = B. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих его сторон: AC = BC. Тогда, по определению, Δ ABC – равнобедренный. Теорема доказана. В треугольнике ABC проведем медиану BD, которая по условию также является высотой. Прямоугольные треугольники ABD и CBD равны, т. к. катет BD общий,AD = CD по построению. Следовательно, гипотенузы этих треугольников равны как соответственные элементы равных треугольников, т. е. AB = BC. Теорема доказана. Москва, 2013

Задачи по готовым чертежам А СВ D ? В А С 37 0 ? ? А В С 70 0 ? А В С см ? см D С А В ? 4,2 см 8,4 см Москва, 2013

Контрольный тест 1. Прямоугольным называется треугольник, у которого а) все углы прямые; б) два угла прямые;два угла прямые в) один прямой угол.один прямой угол Москва, 2013

2. В прямоугольном треугольнике всегда а) два угла острых и один прямой;два угла острых и один прямой б) один острый угол, один прямой и один тупой угол;один острый угол, один прямой и один тупой угол в) все углы прямые.все углы прямые Контрольный тест Москва, 2013

3. Стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол, называются а) сторонами треугольника;сторонами треугольника б) катетами треугольника;катетами треугольника в) гипотенузами треугольника.гипотенузами треугольника Контрольный тест Москва, 2013

4. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется а) стороной треугольника;стороной треугольника б) катетом треугольника;катетом треугольника в) гипотенузой треугольника.гипотенузой треугольника Контрольный тест Москва, 2013

Контрольный тест 5. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна а) 180°;180° б) 100°;100° в) 90°.90° Москва, 2013

Папирус Ахмеса Математический папирус Ахмеса древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное около 1650 до н. э. писцом по имени Ахмес на свиток папируса длиной 5,25 м. и шириной 33 см. Папирус Ахмеса был обнаружен в 1858 шотландским египтологом Генри Риндом и часто называется папирусом Райнда по имени его первого владельца. В 1870 папирус был расшифрован, переведён и издан. Ныне большая часть рукописи находится в Британском музеев Лондоне, а вторая часть в Нью - Йорке. Этот документ остается основным источником информации по математике древнего Египта. Он содержит чертежи треугольников с указаниями углов и формулами нахождения площадей. Во вступительной части папируса Райнда объясняется, что он посвящён «совершенному и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущности, познанию их тайн». Все задачи, приведённые в тексте, имеют в той или другой степени практический характер и могли быть применены в строительстве, размежевании земельных наделов и других сферах жизни и производства. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами, пропорциональное деление, нахождение отношений. Москва, 2013

Е В К Л И Д Евклид (Eνκλειδηζ), древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Сведения об Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в III веке до н. э. Евклид – первый математик александрийской школы. Его главная работа «Начала» (в латинизированной форме – «Элементы») содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвел итог предшествующему развитию греческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. Из других сочинений по математике надо отметить работу «О делении фигур», сохранившуюся в арабском переводе, четыре книги «Конические сечения», материал которых вошел в произведение того же названия Аполлония Пергского, а также «Поризмы», представление о которых можно получить из «Математического собрания» Паппа Александрийского. Евклид – автор работ по астрономии, оптике, музыке и др. Дошедшие до нас произведения Евклида собраны в издании «Euclidis opera omnia», ed. J. L. Heibert et Н. Menge, v. 1–9, 1883–1916, дающем их греческие подлинники, латинские переводы и комментарии позднейших авторов. Москва, 2013

Это интересно Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами (или тремя углами). Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины. В любом треугольнике: 1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот. 2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. 3. Сумма углов треугольника равна 180 º 4. Продолжая одну из сторон треугольника, получаем внешний угол. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним. 5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности ( a b – c; b a – c; c a – b ). Москва, 2013

Ответ не правильный. Более внимательно изучи данную тему! Москва, 2013

Вы верно ответили на все вопросы ! Москва, 2013

Человек, вооруженный знаниями способен решить любые задачи. Спасибо за урок! Москва, 2013

Вопрос 1: Выберите верную формулировку определения прямоугольного треугольника: Треугольник, у которого только два острых угла Треугольник с прямыми сторонамиТреугольник, у которого все углы прямые Треугольник, у которого один угол прямой, а два других острые Москва, 2013

Вопрос 2: Верно ли, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 180°? 180° Да, это верноНет, их сумма равна другому числуИх сумма составляет 360 градусовЗатрудняюсь ответить Москва, 2013

Вопрос 3: Как называется сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу? ОснованиеКатетГипотенузаЗатрудняюсь ответить Москва, 2013

Вопрос 4: Как называются стороны прямого угла прямоугольного треугольника? КатетыБоковые стороныОснованияНет особого названия Москва, 2013

Вопрос 5: Продолжите формулировку: Если острый угол прямоугольного треугольника равен 30°, то… катет равен половине гипотенузегипотенуза равна катетукатет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы гипотенуза больше катета Москва, 2013

Вопрос 6: В треугольнике АВС с прямым углом С ВАС = 30°, АВ = 36 см. Найдите длину катета ВС. Выберите верный ответ. В С А Нельзя определить 36 см18 см72 см Москва, 2013

Вопрос 7: На рисунке изображен треугольник АВС, АВС = 42° Найдите градусную меру угла BAС. В А С 48°42°138°90° Москва, 2013

Вопрос 8: Каким свойством обладает катет прямоугольного треугольника, противолежащий углу в 30°? Нельзя определить Он равен другому катетуОн в два раза меньше гипотенузыОн равен гипотенузе Москва, 2013

А С В Нельзя определить 6 см12см24 см Вопрос 9: В треугольнике АВС ( С = 90 °) А = 30°, ВС = 12 см Найдите длину гипотенузы АВ. Москва, 2013

С В А 4 см 30° С В А 4 см 30° D F Нельзя определить 8 см2 см4 см Вопрос 10: В равнобедренном треугольнике ACD с основанием АD проведена высота СF, из точки F на сторону AС опущен перпендикуляр FВ. Найдите длину перпендикуляра FВ, если FСD=30°, а высота СF = 4 см Москва, 2013

Вопрос 11: В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена высота АD. Найдите величины углов В и С, если боковая сторона треугольника АС=7 см, а СD=3,5 см Нельзя определить Москва, 2013

Вопрос 12: В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС боковая сторона АВ равна 12 см, а угол при вершине А – 120°. Определите высоту АН треугольника АВС. А СНВ Нельзя определить 24 см12 см6 см Москва, 2013

Вопрос 13: В прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза равна 18 см. Определите высоту треугольника, опущенную из вершины прямого угла. = = Нельзя определить Москва, 2013

На ошибках учатся! Повтори теорию еще раз и вернись к задаче. Москва, 2013

Ты хорошо поработал! Приступай к решению следующей задачи. Москва, 2013