Пифагоровы тройки Авторы: Голубева Анна Грешнова Анастасия МОУ «Гончаровская средняя общеобразовательная школа» Руководитель: Мельникова Инна Борисовна

Содержание Историческая справка Прямая и обратная теоремы Пифагора Пифагоровы тройки Интересные задачи Использованная литература

Прибудет вечной истина, как скоро Её познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век. (А. Шамиссо нач. XIX в)

Существует соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника, справедливость которого была доказана древнегреческим философом и математиком Пифагором. Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древних китайских рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора. Заслуга Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы.

Одно из древнейших доказательств дано Евклидом и изложено им в «Началах». Как формулировка, так и доказательство теоремы Пифагора имеют у Евклида чисто геометрический характер.

Чертеж к теореме Пифагора в средневековой арабской рукописи.

Геометрия в Древнем Китае не развилась в самостоятельную науку. В « Трактате об измерительном шесте» изучалась теорема Пифагора. Данный чертеж-это иллюстрация доказательства.

Ученические шаржи из учебника XIXв. В связи с чертежами, сопровождающими доказательством Евклида,и другими, ему подобными, теорему Пифагора учащиеся называли также «ветряной мельницей», составляли стишки вроде Пифагоровы штаны Во все стороны равны.

Четыре доказательства теоремы Пифагора. Рис.2 Рис.4 На рисунке 1 дано доказательство Евклида. На рисунке 2-Леонардо да Винчи. На рисунке 3-индийского математика Бхаскары. На рисунке 4- в ряде доказательств используется подобие треугольников. Все четыре доказательства приводят к выводу: a 2 +b 2 =c 2

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Прямая теорема Пифагора. Доказательство Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с. Докажем, что с 2 = а 2 + b 2.

Достроим треугольник до квадрата со стороной a+b так, как показано на рисунке. Площадь S этого квадрата равна (a+b) 2. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна1/2a*b, и квадрата со стороной c, поэтому S=4*1/2 ab+c 2 =2ab+c 2. Таким образом, (a+b) 2 =2ab+c 2, откуда c 2 =a 2 +b 2. Теорема доказана.

Обратная теорема Пифагора. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Доказательство. Пусть в треугольнике ABC AB 2 =AC 2 +BC 2. Докажем, что угол C прямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник A 1 B 1 C 1 с прямым углом C 1, у которого A 1 C 1 =AC и B 1 C 1 =BC. По теореме Пифагора A 1 B 1 2 =A 1 C 1 2 +B 1 C 1 2, и значит, A 1 B 1 2 =AC 2 +BC 2. Но AC 2 +BC 2 =AB 2 по условию теоремы. Следовательно, A 1 B 1 2 =AB 2, откуда A 1 B 1 =AB. Треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по трем сторонам, поэтому

Пифагоровы тройки. Во многих клинописных текстах речь идет о решении уравнения X 2 +Y 2 =Z 2 в рациональных числах (x,y,z)- позднее их стали называть «пифагоровыми тройками». Сохранилась таблица рациональных «пифагоровых троек».

XYZ Таблица «пифагоровых троек»

Эта таблица результат решения задачи Пифагора. «Найдите все пифагоровы числа, т.е. все тройки целых положительных чисел x,y,z, которые были бы решениями уравнениями x 2 +y 2 =z 2.» В результате решения получаем формулы: X=UV; Y = ( U 2 -V 2 ):2 ; Z = (U 2 +V 2 ):2 ; где U, V,-числа взаимно простые, причем U>V.

UVXYZ Наличие бесконечного множества троек пифагоровых чисел позволяет сформулировать ряд весьма интересных задач. Особенно привлекли математиков следующие три задачи.

Задача 1 Найти все тройки пифагоровых чисел, в которых два числа из трёх являлись бы последовательными числами. (например, тройка 20, 21, 29). Задача 2 Найти все тройки пифагоровых чисел, чтобы одно из трёх чисел, входящих в тройку, было полным квадратом (например, тройки 3, 4, 5; 7, 24, 25; 9, 40, 41; и т. д.). Задача 3 (Задача Ферма.) Найти такие тройки (x,y,z) пифагоровых чисел, чтобы x+y и z являлись полными квадратами. Оказывается, таких троек существует бесконечное множество, но все они выражаются очень большими числами.

Задача на теорему Пифагора. Вот задача 6 из девятой книги «Математики в девяти книгах»: «Имеется водоем со стороной в 1 чжан (=10 чи). В центре его растёт камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?» Решение. Если обозначить глубину воды через x, то получим прямоугольный треугольник, один катет которого есть x, второй равен 5, а гипотенуза x+1. По теореме Пифагора легко вычислить, что глубина воды составляет 12 чи, а длина камыша - 13 чи.

Интересные задачи Задача 1 Сумма любого числа последовательных нечетных чисел, начиная с единицы, есть точный квадрат. Решение По-видимому, в школе Пифагора эта задача решалась геометрически. Единица представлялась в виде квадрата, а последовательные числа –в виде гномонов, т.е. фигур г-образной формы, состоящих из нечетного числа квадратов (единиц): 1+3=4=2 2, 1+3+5=4+5=3 2, =9+7=16=4 2 и т.д. Алгебраически эта задача решается просто. Последовательность нечетных чисел, начиная с единицы, представляет собой арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7…,(2n-1). Число членов этой прогрессии равняется n+1. Сумма всех членов указанной прогрессии будет S=(1+2n-1)*n:2=n 2.

Использованная литература Г. И. Глейзер «История математики в школе» Москва «Просвещение» 1982г. Стр Энциклопедия для детей «Математика» Москва «Аванта+» 1998г. Н. Ф. Гаврилова «Поурочные разработки по геометрии» Москва «ВАКО» 2005г. Стр. 139 В. Д. Чистяков «Старинные задачи по элементарной математике» Минск «Вышейшая школа» 1978г. «Я познаю мир математика» Москва АСТ 1999г.