Многоуровневая система задач по планиметрии Выполнила: Перзашкевич Т.В. учитель математики ГБОУ СОШ 2 с. Кинель – Черкассы Самарской области

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 5, BC = 3. Найдите cos A. Решение По определению cos A = AC : AB. Обозначим AC = x. Треугольник ABC прямоугольный. По теореме Пифагора: AC 2 + BC 2 = AB 2 ; x = 5 2 ; x 2 = 25 9 = 16; x = 4 cos A = AC : AB = 4 : 5 = 0,8. Ответ: 0,8

В треугольнике ABC угол B равен 90°, cos A = 4/5, BC = 3. BH высота. Найдите AH. Решение: Обозначим искомую сторону AH = x и рассмотрим треугольник ABH. Он прямоугольный, причем

В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8. Из вершины прямого угла проведена высота CD. Определите радиусы вписанных в треугольники ACD и CDB окружностей. Решение: Из прямоугольного треугольника АВС: АВ² =АС² +ВС² =6² +8² = 100, АВ = 10 СD= СD = 4,8 По теореме Пифагора А D² = АС² - СD²= 6² - 4.8²=3,6 Из треугольника ВСD: ВD² = ВС² - СD² =8² - 4,8² = 6,4 Радиус, вписанной в треугольник АСD r = Радиус, вписанной в треугольник ВСD r = Ответ: 1,2 и 1,6

Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12. Известно, что AB = 6 и BC = 4. Найдите AC. Решение: : Из теоремы синусов для треугольника ABC имеем Из основного тригонометрического тождества находим, что: Тогда по теореме косинусов для треугольника ABC имеем для обоих случаев: Ответ: 35 ± 15.

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону. Решение. и как углы при параллельных прямых. Значит, треугольники АВЕ и ЕСD – равнобедренные. АD = АЕ+ ЕD= АВ + СD = 2 АВ = 10. Ответ: 10

В ромбе ABCD диагонали равны 5 см и 12 см. На диагонали АС взята точка М так, что АМ : МС = 4 : 1. Найдите площадь треугольника AMD. В ромбе ABCD диагонали равны 5 см и 12 см. На диагонали АС взята точка М так, что АМ : МС = 4 : 1. Найдите площадь треугольника AMD. M А D С В

Дан параллелограмм ABCD, сторона которого AB=13. Из углов А и В проведены биссектрисы, которые пересекаются в точке О. Расстояние от точки О до отрезка АВ равно Определите отрезки ВО и OA. ABCD - параллелограмм AB=13, AM, BN – биссектрисы. O - точка пересечения биссектрис

В параллелограмме АВСD биссектрисы углов при стороне АD делят сторону ВС точками М и Т так, что ВМ : МТ = 1 : 4. Найти ВС, если АВ = 9. А В МТ С D Решение. АВСD параллелограмм, значит, АВ = СD, АВСD, АD = ВС, АDВС. АТ и DМ – биссектрисы, значит, делят углы при стороне АD пополам, ВАС = ТАD, АDМ = МDС. ТАD = АТВ ( как внутренние накрест лежащие при АDВС и секущей АТ) = ВАС, т.е. Δ АВТ равнобедренный с основанием АТ. АВ = ВТ = 9 = 5 частей (ВМ + МТ), 1 часть = 9: 5 = 1,8. Аналогично, Δ МСD равнобедренный с основанием МD (СDМ = СМD = АDМ), МС = DС = 9. ВС = ВМ + МС = 1,8 + 9 = 10,8. Ответ: ВС = 10,8.

В треугольнике ABC с периметром 2p острый угол BAC равен. Окружность с центром в точке O касается стороны BC и продолжения сторон AB и AC в точках K и L соответственно. Найдите площадь треугольника AOL. Пусть M точка касания данной окружности со стороной BC. Тогда KB = BM, LC = CM, 2p = AB + BC + AC = AK + AL, а т.к. AK = AL, то AL = p. Поэтому, ОL=ALtg OL=ptg Следовательно, S AOL = AL. LO = p 2 tg

Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Лучи ВА и СD пересекаются в точке L, а лучи ВС и АD – в точке К. Найдите угол ВАD, если угол СКD равен углу АLD и равны по 60ْ B C K L D A Обозначим угол ВАD через α. Тогда по свойству противолежащих углов вписанного четырёхугольника < ВСD = 180ْ - α. < ВСD – внешний угол СDК. < СКD + < СDК = 180ْ –α.

В треугольнике АВС : АС = 8; АВ=ВС= Точка М делит высоту ВН в отношении 3:2, считая от вершины. Через точки А, М, С проведена окружность. Найдите радиус окружности, проходящей через точку В и касающейся данной окружности. М В H СА М H А В С М H К

1) Касание окружностей внешним образом. Треугольник АВС – равнобедренный. Высота ВН ² = АВ² - АН² = = 25; ВН= 5. Точка М делит высоту ВH в отношении 3:2, т.е. в одной части содержится 1см. ВМ – диаметр окружности, проходящей через точку В, равен 3см, тогда радиус окружности равен 1,5 см. 2 ) Касание окружностей внутренним образом. По свойствам хорд AH·HC = MH·HK, 4·4 = 2· HK, HK = 8см. D = MH + HK = 10см, r = 5см. М В H СА М H А В С М H К Ответ: 1,5 и 5

В треугольнике АВС известны стороны АВ=7, ВС=8, АС=9. Окружность, проходящая через точки А и С, пересекает прямые ВА и ВС соответственно в точках К и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник АВС. Найдите длину отрезка KL. Обе точки К и L не могут лежать вне треугольника, поскольку в этом случае отрезок КL не может касаться вписанной окружности. Значит, по крайней мере одна точка лежит на стороне треугольника. 1) Пусть обе точки К и L лежат на сторонах треугольника. Четырехугольник АК LС – вписанный. < КАС = 180ْ -

2) Пусть точка К лежит на продолжении стороны АВ (рис.2). АВ, т.е. точка К лежит на продолжении стороны АВ. 3) Если точка L лежит на продолжении ВС, то ВL > ВС, но ВL= АВ

Ресурсы Интернет: file:///C:/Documents%2520and%2520Settings/Admin/Мои%2520документ ы/Downloads/matemetica-demo-2012.rar file:///C:/Documents%2520and%2520Settings/Admin/Мои%2520документ ы/Downloads/matemetica-demo-2012.rar file:///C:/Documents%2520and%2520Settings/Admin/Мои%2520документ ы/Downloads/matemetica-demo-2012.rar file:///C:/Documents%2520and%2520Settings/Admin/Мои%2520документ ы/Downloads/matemetica-demo-2012.rar file:///C:/Documents%2520and%2520Settings/Admin/Мои%2520документ ы/Downloads/zadachi_s4_chast1_.doc file:///C:/Documents%2520and%2520Settings/Admin/Мои%2520документ ы/Downloads/zadachi_s4_chast1_.doc file:///C:/Documents%2520and%2520Settings/Admin/Мои%2520документ ы/Downloads/zadachi_s4_chast1_.doc file:///C:/Documents%2520and%2520Settings/Admin/Мои%2520документ ы/Downloads/zadachi_s4_chast1_.doc file:///C:/Documents%2520and%2520Settings/Admin/Мои%2520документ ы/Downloads/matEGE2013.zip file:///C:/Documents%2520and%2520Settings/Admin/Мои%2520документ ы/Downloads/matEGE2013.zip file:///C:/Documents%2520and%2520Settings/Admin/Мои%2520документ ы/Downloads/matEGE2013.zip file:///C:/Documents%2520and%2520Settings/Admin/Мои%2520документ ы/Downloads/matEGE2013.zip file:///C:/Documents%2520and%2520Settings/Admin/Мои%2520документ ы/Downloads/zadachi_s4_chast1_.doc file:///C:/Documents%2520and%2520Settings/Admin/Мои%2520документ ы/Downloads/zadachi_s4_chast1_.doc file:///C:/Documents%2520and%2520Settings/Admin/Мои%2520документ ы/Downloads/zadachi_s4_chast1_.doc file:///C:/Documents%2520and%2520Settings/Admin/Мои%2520документ ы/Downloads/zadachi_s4_chast1_.doc file:///C:/Documents%2520and%2520Settings/Admin/Мои%2520документ ы/Downloads/math438_3.zip file:///C:/Documents%2520and%2520Settings/Admin/Мои%2520документ ы/Downloads/math438_3.zip file:///C:/Documents%2520and%2520Settings/Admin/Мои%2520документ ы/Downloads/math438_3.zip file:///C:/Documents%2520and%2520Settings/Admin/Мои%2520документ ы/Downloads/math438_3.zip Литература: Р. Гордин. ЕГЭ математика 2012;М. МЦНМО, Математика. Решебник. Подготовка к ЕГЭ Учебно- тренировочные тесты. Под ред. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. (2012, 160с.) Математика. ЕГЭ Типовые тестовые задания. ( с)