Правильные многогранники

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n – угольники при n = 6. Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n – угольники при n = 6.

Виды правильных многогранников Тетраэдр Тетраэдр Октаэдр Октаэдр Икосаэдр Икосаэдр Гексаэдр Гексаэдр Додекаэдр Додекаэдр

Тетраэдр Тетраэдр - треугольная правильная пирамида, гранями которой являются правильные треугольники и в каждой вершине сходится по 3 грани. Тетраэдр - треугольная правильная пирамида, гранями которой являются правильные треугольники и в каждой вершине сходится по 3 грани. Сумма плоских углов при вершине равна 120˚. Сумма плоских углов при вершине равна 120˚. Имеет 4 грани. Имеет 4 грани.

Тетраэдр

Октаэдр Октаэдр – правильный многогранник, гранями которой являются правильные треугольники и в каждой вершине сходится по 4 грани. Октаэдр – правильный многогранник, гранями которой являются правильные треугольники и в каждой вершине сходится по 4 грани. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240˚. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240˚. Поверхность состоит из 8 правильных треугольников. Поверхность состоит из 8 правильных треугольников.

Октаэдр

Икосаэдр Икосаэдр – правильный многогранник, гранями которой являются правильные треугольники и в каждой вершине сходится по 5 граней. Икосаэдр – правильный многогранник, гранями которой являются правильные треугольники и в каждой вершине сходится по 5 граней. Сумма плоских углов при каждой вершине 300º. Сумма плоских углов при каждой вершине 300º. Состоит из 20 правильных треугольников. Состоит из 20 правильных треугольников.

Икосаэдр

Гексаэдр Гексаэдр – многоугольник, гранями которого являются правильные четырехугольники и в каждой вершине сходится по 3 грани. Гексаэдр – многоугольник, гранями которого являются правильные четырехугольники и в каждой вершине сходится по 3 грани. Сумма плоских углов при каждой вершине 270˚. Сумма плоских углов при каждой вершине 270˚. Состоит из 6 правильных четырехугольников. Состоит из 6 правильных четырехугольников.

Гексаэдр

Додекаэдр Додекаэдр – многоугольник, гранями которого являются правильные пятиугольники и в каждой вершине сходится по 3 грани. Додекаэдр – многоугольник, гранями которого являются правильные пятиугольники и в каждой вершине сходится по 3 грани. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324˚. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324˚. Состоит из 12 правильных пятиугольников. Состоит из 12 правильных пятиугольников.

Додекаэдр

Полуправильный многогранник Полуправильный многогранник – выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники, возможно и с разным количеством сторон, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Полуправильный многогранник – выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники, возможно и с разным количеством сторон, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Существует 16 видов полуправильных многогранников. Существует 16 видов полуправильных многогранников.

Полуправильный многогранник 1 вид 1 вид Правильные n – угольные призмы, все ребра которых равны, т.е. боковыми гранями которого являются квадраты. Правильные n – угольные призмы, все ребра которых равны, т.е. боковыми гранями которого являются квадраты.

Полуправильные многогранники

2 вид 2 вид n – угольные антипризмы, все ребра которой равны. n – угольные антипризмы, все ребра которой равны.

Полуправильный многогранник Шестиугольная антипризма получена поворотом одного из оснований относительно другого на угол 30˚. Шестиугольная антипризма получена поворотом одного из оснований относительно другого на угол 30˚. Каждая вершина верхнего и нижнего оснований соединена с двумя ближайшими вершинами другого основания. Каждая вершина верхнего и нижнего оснований соединена с двумя ближайшими вершинами другого основания. Если высоту призмы подобрать так, что все боковые грани являлись правильными треугольниками, то полученная призма будет полуправильным многогранником. Если высоту призмы подобрать так, что все боковые грани являлись правильными треугольниками, то полученная призма будет полуправильным многогранником.

Антипризма

Полуправильный многогранник Четырехугольная антипризма получена из четырехугольной призмы с помощью поворота верхнего основания на угол 45˚. Четырехугольная антипризма получена из четырехугольной призмы с помощью поворота верхнего основания на угол 45˚.

Получение антипризмы

Тела Архимеда 3 вид 3 вид Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных многогранников имеется еще только 14 полуправильных многогранников, Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных многогранников имеется еще только 14 полуправильных многогранников, 13 из которых открыл Архимед, поэтому их называют телами Архимеда. 13 из которых открыл Архимед, поэтому их называют телами Архимеда.

Архимед Древнегреческий Древнегреческий математик, физик, механик математик, физик, механик ( г.г. до н.э.) ( г.г. до н.э.)

Полуправильные многогранники Тела Архимеда Самые простые тела получаются из правильных многогранников операцией «усечения», состоящей в отсечении плоскостями углов многогранника. Самые простые тела получаются из правильных многогранников операцией «усечения», состоящей в отсечении плоскостями углов многогранника.

Полуправильные многогранники Тела Архимеда Если срезать углы тетраэдра плоскостью, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, получим усеченный тетраэдр, Если срезать углы тетраэдра плоскостью, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, получим усеченный тетраэдр, имеющий 8 граней, из них 4 – правильные шестиугольники и 4 – правильные треугольники. имеющий 8 граней, из них 4 – правильные шестиугольники и 4 – правильные треугольники.

Полуправильные многогранники Тела Архимеда Усеченный тетраэдр, Усеченный тетраэдр, имеет 8 граней, из них 4 – правильные шестиугольники и 4 – правильные треугольники. имеет 8 граней, из них 4 – правильные шестиугольники и 4 – правильные треугольники. В каждой вершине этого многогранника сходится 3 грани. В каждой вершине этого многогранника сходится 3 грани.

Усеченный тетраэдр

Полуправильные многогранники Тела Архимеда Если указанным образом срезать углы октаэдра, то получим Если указанным образом срезать углы октаэдра, то получим усеченный октаэдр и усеченный икосаэдр. усеченный октаэдр и усеченный икосаэдр.

Усеченный октаэдр

Усеченный икосаэдр

Интересный факт Поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра. Поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра.

Полуправильные многогранники Тела Архимеда Из куба и додекаэдра можно получить Из куба и додекаэдра можно получить усеченный куб и усеченный куб и усеченный додекаэдр. усеченный додекаэдр.

Усеченный куб

Усеченный додекаэдр

Полуправильные многогранники Тела Архимеда Если к этим усеченным многогранникам опять применить операцию «усечения», то полуправильные многогранники уже не получатся. Если к этим усеченным многогранникам опять применить операцию «усечения», то полуправильные многогранники уже не получатся.

Полуправильные многогранники Тела Архимеда Чтобы получить еще один полуправильный многогранник, Чтобы получить еще один полуправильный многогранник, проведем в кубе секущие плоскости через середины ребер, проведем в кубе секущие плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины. выходящих из одной вершины.

Полуправильные многогранники Тела Архимеда В результате получим полуправильный многогранник – кубооктаэдр. В результате получим полуправильный многогранник – кубооктаэдр. Его гранями являются 6 квадратов, как у куба, Его гранями являются 6 квадратов, как у куба, и 8 правильных треугольников, как у октаэдра. и 8 правильных треугольников, как у октаэдра. Отсюда и название – кубооктаэдр. Отсюда и название – кубооктаэдр.

Кубооктаэдр

Полуправильные многогранники Тела Архимеда Если в додекаэдре секущие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим многогранник, который называется икосододекаэдр. У него 12 граней – правильные пятиугольники и 20 граней – правильные треугольники, Если в додекаэдре секущие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим многогранник, который называется икосододекаэдр. У него 12 граней – правильные пятиугольники и 20 граней – правильные треугольники, т.е. все грани додекаэдра и икосаэдра. т.е. все грани додекаэдра и икосаэдра.

Икосододекаэдр

Полуправильные многогранники Тела Архимеда Если к последним снова применить операцию «усечения», получим Если к последним снова применить операцию «усечения», получим усеченный кубооктаэдр и усеченный кубооктаэдр и усеченный икосододекаэдр. усеченный икосододекаэдр.

Усеченный кубооктаэдр

Усеченный икосододекаэдр

Полуправильные многогранники Тела Архимеда 4 оставшихся полуправильных многогранника более сложного типа. 4 оставшихся полуправильных многогранника более сложного типа. Ромбокубооктадр. У него 26 граней. Из них 18 квадратов и 8 правильных треугольников. Ромбокубооктадр. У него 26 граней. Из них 18 квадратов и 8 правильных треугольников. Ромбоикосододекаэдр. У него 62 грани, из них 30 квадратов, 20 правильных треугольников и 12 правильных пятиугольников. Ромбоикосододекаэдр. У него 62 грани, из них 30 квадратов, 20 правильных треугольников и 12 правильных пятиугольников.

Ромбокубооктадр

Ромбоикосододекаэдр

Полуправильные многогранники Тела Архимеда «Плосконосый» (иногда называют «курносый») куб. «Плосконосый» (иногда называют «курносый») куб. У него 38 граней, из них 6 квадратов и 32 правильных треуольника. У него 38 граней, из них 6 квадратов и 32 правильных треуольника. «Плосконосый» (иногда называют «курносый») додекаэдр. «Плосконосый» (иногда называют «курносый») додекаэдр. У него 92 грани, из них 12 правильных пятиугольников и 80 правильных треуольников У него 92 грани, из них 12 правильных пятиугольников и 80 правильных треуольников

«Курносый» куб

«Курносый» додекаэдр

Полуправильные многогранники Тела Архимеда На протяжении более 2000 лет, со времен Архимеда, считалось, что других полуправильных многогранников не существует. На протяжении более 2000 лет, со времен Архимеда, считалось, что других полуправильных многогранников не существует. И только совсем недавно был открыт еще один и последний полуправильный многогранник. И только совсем недавно был открыт еще один и последний полуправильный многогранник. Он получается из ромбокубооктаэдра поворотом нижней восьмиугольной чаши на угол 45˚ Он получается из ромбокубооктаэдра поворотом нижней восьмиугольной чаши на угол 45˚ и у него столько же граней. и у него столько же граней.

Последний правильный многогранник

Звездчатые многогранники Кроме правильных и полуправильных многогранников красивую форму имеют так называемые звездчатые многогранники. Кроме правильных и полуправильных многогранников красивую форму имеют так называемые звездчатые многогранники. Мы рассмотрим правильные звездчатые многогранники. Их всего 4. первые два были открыты И. Кеплелом, а два других в 1840 г. построил французский инженер, механик и математик Л.Пуансо ( ). Мы рассмотрим правильные звездчатые многогранники. Их всего 4. первые два были открыты И. Кеплелом, а два других в 1840 г. построил французский инженер, механик и математик Л.Пуансо ( ).

Иоганн Кеплер - Иоганн Кеплер - итальянский астроном, физик, математик. итальянский астроном, физик, математик. ( ) ( )

Луи Пуансо Луи Пуансо французский математик и механик ( ) ( )

Звездчатые многогранники Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название тел Кеплера-Пуансо. Именно поэтому правильные звездчатые многогранники получили название тел Кеплера-Пуансо. Они получаются из правильных многоранников продолжением их граней и ребер. Они получаются из правильных многоранников продолжением их граней и ребер. Из тетраэдра, куба и октаэдра звездчатых многогранников не получается. Из тетраэдра, куба и октаэдра звездчатых многогранников не получается.

Звездчатые многогранники Рассмотрим додекаэдр. Рассмотрим додекаэдр. Продолжение его ребер приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником, Продолжение его ребер приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником, и в результате получаем многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром. и в результате получаем многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром.

Звездчатый додекаэдр

Звездчатые многогранники При продолжении граней додекаэдра возникает две возможности. При продолжении граней додекаэдра возникает две возможности. Во-первых, при этом можно рассматривать правильные выпуклые пятиугольники, тогда получается многогранник, который называется большой додекаэдр. Во-первых, при этом можно рассматривать правильные выпуклые пятиугольники, тогда получается многогранник, который называется большой додекаэдр.

Звездчатые многогранники Додекаэдр

Звездчатые многогранники Большой додекаэдр

Звездчатые многогранники Во-вторых, в качестве граней можно рассматривать звездчатые пятиугольники, Во-вторых, в качестве граней можно рассматривать звездчатые пятиугольники, тогда получается многогранник, который называется большой звездчатый додекаэдр. тогда получается многогранник, который называется большой звездчатый додекаэдр.

Большой звездчатый додекаэдр

Додекаэдр

Звездчатые многогранники Рассмотрим икосаэдр. Рассмотрим икосаэдр. При продолжении его граней получается многогранник, При продолжении его граней получается многогранник, который называется большой икосаэдр. который называется большой икосаэдр.

Большой икосаэдр

Бумажная модель бумажного икосаэдра

Звездчатые многогранники Аналогично тому, как из правильных многогранников получают правильные звездчатые многогранники, так из полуправильных многогранников получают полуправильные звездчатые многогранники. Аналогично тому, как из правильных многогранников получают правильные звездчатые многогранники, так из полуправильных многогранников получают полуправильные звездчатые многогранники. В настоящее время известен 51 вид таких многогранников, но неизвестно, исчерпываются ли ими все такие многогранники. В настоящее время известен 51 вид таких многогранников, но неизвестно, исчерпываются ли ими все такие многогранники.

Звездчатые многогранники Звездчатые многогранники декоративны. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Звездчатые многогранники декоративны. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки – это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать всевозможные виды снежинок, составлялись специальные атласы. Сейчас известны несколько тысяч различных типов снежинок. Снежинки – это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать всевозможные виды снежинок, составлялись специальные атласы. Сейчас известны несколько тысяч различных типов снежинок.

Звездчатые многогранники Звездчатый октаэдр является объединением двух разных правильных тетраэдров. Звездчатый октаэдр является объединением двух разных правильных тетраэдров. Он был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти 100 лет был переоткрыт И.Кеплером и назван им «Stella octangula» - звезда восьмиугольная. Он был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти 100 лет был переоткрыт И.Кеплером и назван им «Stella octangula» - звезда восьмиугольная.

Звездчатый октаэдр

Развертка звездчатого икосаэдра